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圆周角概念及定理

'圆周角概念及定理'
圆周角及其定理教学目标 1、 理解圆周角的概念,掌握圆周角定理及其推论,并会运用它进行论证和计算.2、 经历圆周角定理的证明,使学生了解分类证明命题的思想和方法,体会类比、分类的教学方法.3、 通过学生主动探索圆周角定理及其推论,合作交流的学习过程,学习成长的快乐及数学的应用价值.教学重点难点 教学重点:圆周角的概念、圆周角定理及其应用.教学难点: 圆周角定理的分类证明.教学过程一、情境导入足球场上的数学  在足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时,同伴乙已经冲到B点.有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.问哪一种射门方式进球的可能性大?(提示:仅从射门角度考虑,射门角度越大越好.)设计意图:让学生感受到生活之中的数学问题,激发学习兴趣.二、自我探究1、圆周角的概念 观察图形∠APB的顶点P从圆心O移动到圆周上(电脑动画).教师指出∠APB是圆周角.由圆心角顺利迁移到圆周角.学生对比圆心角的定义,尝试给出圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫圆周角.辨析概念  判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由.思考特征 圆周角具有什么特征?明确结论:①顶点在圆上;②两边都和圆相交.设计意图:让学生能形象地感知圆周角,理解圆周角概念。2、合作交流,动手操作学生先动手画圆周角,再相互交流、比较,探究圆心与圆周角的位置关系,并请学生代表上讲台用投影展示交流成果.教师再利用电脑,动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系,并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系:①圆心在圆周角的一边上;② 圆心在圆周角的内部;③圆心在圆周角的外部.设计意图:学生动手画圆周角,进一步熟悉圆周角,另一方面,预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系,将难点分散,为后面证明圆周角定理作铺垫,降低证明难度.探究问题 同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系?试验操作当圆心角分别是锐角(450)、钝角(1100)和平角(1800)时,动手测量出弧BC所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数,比较它们的大小,然后在优弧BAC上任意取一点E,测量∠BEC的度数,探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.猜想结论 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.电脑验证 教师改变圆心角∠BOC的度数,再通过电脑测量弧AB所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数,进一步验证学生的猜想.设计意图:学生合作交流,探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系,教师再通过电脑测量来验证,让学生进一步明确它们之间的关系.4、证明定理命题分析  命题:(电脑显示)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.学生说出已知、求证.问题:圆心与圆周角的三种位置关系中,哪一种位置关系最特殊?此时你能不能证明∠A= 1/2∠BOC?三种情况:第一种情况:圆心在圆周角一边上;第二种情况:圆心在圆周角的内部;第三种情况:圆心在圆周角的外部。定理证明 :学生证明第一种情形(圆心在圆周角的一边上的情形):作直径AD.∵OA=OC   ∴  ∠A=∠C又∵∠BOC=∠A+∠C∴  ∠BOC=2∠A即∠A= ∠BOC    利用基本图形(小红旗)及其对应的基本结论,引导学生证明当圆心在圆周角内部时的情形:∵∠BAD= ∠BOD,∠CAD= ∠COD∴∠BAD+∠CAD= ∠BOD+ ∠COD即∠BAC= ∠BOC情形(3)的证明推导,学生自己完成,教师圆周角定理: 一条弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半设计意图:教师引导,学生证明出圆周角定理,验证其猜想的正确性,激发学生学习数学的兴趣与成就感.三、应用巩固例1.如图,OA、OB、OC都是圆O的半径, ∠AOB = 2∠BOC. 求证:∠ACB = 2∠BAC. 例2 如图,如果∠A=60°,则∠BOD=____°,∠BDC=____°拓展 若∠1=∠2=60°,判断△BCD的形状并证明你的结论.设计意图:及时巩固本节课所学的核心知识,并注重知识的延伸,拓宽学生思维的深度和广度.四、总结拓展1.本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论.2.本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想.设计意图:自我总结反思自己本节课的收获,养成良好的学习习惯。六、作业巩固设计意图:数学是“做”出来的,即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈,进一步巩固、掌握所学新识
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