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圆和圆的位置关系 (5)

'圆和圆的位置关系 (5)'
24.2.3圆和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点1.了解圆与圆之间的几种位置关系.2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.(二)能力训练要求1.经历探索两个圆之间位置关系的过程,训练学生的探索能力.2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手操作能力.(三)情感与价值观要求1.通过探索圆和圆的位置关系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.经历探究图形的位置关系,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维.教学重点探索圆与圆之间的几种位置关系,了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.教学难点探索两个圆之间的位置关系,以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.教学方法教师讲解与学生合作交流探索法教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]我们已经研究过点和圆的位置关系,分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系,分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系,那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.Ⅱ.新课讲解一、想一想[师]大家思考一下,在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.[师]很好,现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.二、探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起,固定⊙O1,平移⊙O2,⊙O1与⊙O2有几种位置关系?[师]请大家先自己动手操作,总结出不同的位置关系,然后互相交流.[生]我总结出共有五种位置关系,如下图:[师]大家的归纳、总结能力很强,能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.[生]如图:(1)外离:两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;(2)外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;(3)相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个圆的内部;(4)内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙O2上的点在⊙O1的内部;(5)内含:两个圆没有公共点,⊙O2上的点都在⊙O1的内部.[师]总结得很出色,如果只从公共点的个数来考虑,上面的五种位置关系中有相同类型吗?[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.[师]因此只从公共点的个数来考虑,可分为相离、相切、相交三种.经过大家的讨论我们可知:投影片(§3.6A)(1)如果从公共点的个数,和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑,两个圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种:相离、相切、相交,并且相离,相切三、例题讲解投影片(§3.6B)两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图所示(点O,O'是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大。治:因为两个圆大小相同,所以半径OP=O'P=OO',又TP、NP分别为两圆的切线,所以PT⊥OP,PN⊥O'P,即∠OPT=∠O'PN=90°,所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O'PN+∠OPO'即可.解:∵OP=OO'=PO',∴△PO'O是一个等边三角形.∴∠OPO'=60°.又∵TP与NP分别为两圆的切线,∴∠TPO=∠NPO'=90°.∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°.四、想一想如图(1),⊙O1与⊙O2外切,这个图是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?〔如图(2)〕[师]我们知道圆是轴对称图形,对称轴是任一直径所在的直线,两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上,下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步:第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误,则原来的结论成立.证明:假设切点T不在O1O2上.因为圆是轴对称图形,所以T关于O1O2的对称点T'也是两圆的公共点,这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾,因此假设不成立.则T在O1O2上.由此可知图(1)是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线,切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.在图(2)中应有同样的结论.通过上面的讨论,我们可以得出结论:两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过切点,图(1)和图(2)都是轴对称图形,对称轴是它们的连心线.五、议一议投影片(§3.6C)设两圆的半径分别为R和r.(1)当两圆外切时,两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时,这两个圆一定外切吗?(2)当两圆内切时(R>r),圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之,当d与R和r满足这一关系时,这两个圆一定内切吗?[师]如图,请大家互相交流.[生]在图(1)中,两圆相外切,切点是A.因为切点A在连心线O1O2上,所以O1O2=O1A+O2A=R+r,即d=R+r;反之,当d=R+r时,说明圆心距等于两圆半径之和,O1、A、O2在一条直线上,所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A,即⊙O1与⊙O2外切.在图(2)中,⊙O1与⊙O2相内切,切点是B.因为切点B在连心线O1O2上,所以O1O2=O1B-O2B,即d=R-r;反之,当d=R-r时,圆心距等于两半径之差,即O1O2=O1B-O2B,说明O1、O2、B在一条直线上,B既在⊙O1上,又在⊙O2上,所以⊙O1与⊙O2内切.[师]由此可知,当两圆相外切时,有d=R+r,反过来,当d=R+r时,两圆相外切,即两圆相外切d=R+r.当两圆相内切时,有d=R-r,反过来,当d=R-r时,两圆相内切,即两圆相内切d=R-r.Ⅲ.课堂练习随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容:1.探索圆和圆的五种位置关系;2.讨论在两圆外切或内切情况下,图形的轴对称性及对称轴,以及切点和对称轴的位置关系;3.探讨在两圆外切或内切时,圆心距d与R和r之间的关系.Ⅴ.课后作业习题3.9Ⅵ.活动与探究已知图中各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1、⊙O2的半径为R,求⊙O3的半径.分析:根据两圆相外切连心线的长为两半径之和,如果设⊙O3的半径为r,则O1O3=O2O3=R+r,连接OO3就有OO3⊥O1O2,所以OO2O3构成了直角三角形,利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.解:连接O
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