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函数的例题分析及解法

'函数的例题分析及解法'
函数的例题分析及解法本章主要介绍畅数的概念,包括两数的定义及表示法,关于函数的一些属性(对 称性,周期性、有界性、单调性等),基本初等函数和初等函数。说“高等教学研究的是变量”,是因为今后要学习的微分学和积分学都以函数(主 要是初等函数)为研究对象,微分学主要研究函数局部性态,积分学主要研究函数的整体特征。因 此,掌握函数概念对学好本课程来说是最基本的。通过学习本章,要求读者正确理解函数概念,正确使用函数符号)(xf ,掌握六 类基木初等函数的特性和图形,从计算的角度来看,要求读者会求给定函数的定义域,能根据问题要 求建立函数关系表达式,学会如何把一个复杂的初等函数分解成若干个基木初等函数的加、减、乘、除和 复合运算。一、疑难解析(一)关于函数概念1. 在理解函数定义时要抓住:(1) 定义域:自变量的变化范围。(2) 对应规则:因变量和自变量的对应规则(对应法则或对应关系)通常称定义域和对应规则是函数的两要素:亩ㄒ逵蛉范撕嬖诘姆段,对应规则确定了自变量如何对应到因变量。 因此,这两要素一旦确定,函数也就完全确定了。即两个函数恒等当且仅定义域和对应规则完全相 等,若两者之一不同,就是两个不同的函数。2. 关于函数定义的说明(1) 函数的定义域不许是空集合,如53 xxy o因为既大于5又小于3的数不存在,故定义域是空集合,所以y不是函数。(2) 函数的单值性,本书定义的函数是:任给Dx ,只能有唯一的y值,满 足)(x f y ,而不是两或更多个y值,就是说,D内不同的x可以对应到一个y的值,但不能有D内 的一个x ,对应到多个不同的y值。(3) 函数符号)(xfy ,只表示“y是x的函数”这件事,f表示自变量x通过f或f ( )对应成y ,或者说按照f或f ( ),把x变成)(.xfy决不是f与x相乘。如2xxx fy ①那么f就代表运算式3 ( )2+ ( ) -7括号内是自变量的位置,运算的结果得以因变量的值。自变量和因变量用什么字母表示都无关紧要。如732ttu2表示的函数关系与①相同。3. 在函数的定义中,对表示函数的方式没有限制,不要认为函数就是表达式,表 达式只是表示函数的一种重要的常用的表示形式,还可以用图象、表格表示函数,即使用表达式表 示函数,也不要以为只有一个表达式表示的变量关系才是函数;咕;嵊龅,在不同区间上用不同的表 达式表示的函数。这里再举些用表达式表示函数的例子,如 xy 表示“小于或等于x的最人整数=X x x y 表示“x的小数部分"4. 注意)(x f与)(0x f不同:)(x f是变量;)(0xf是一个常量,是当自变量x取值0x时,函数)(xf的值,或记作00)(,x xx xxfy(-)关于复合函数,若 U D两个函数 )0, (),)((xguuUxguDuufy,那么))((x g f y 就是f与g的复合函数,U是中间变量。简单地说,得合函数就是函数嵌套函数或者两数的凶数。如x u x y sin ), 1 lg( 等都是复合函数,但)2 arccos(2x y不是复函数,因为其它定义域是空集,不能构成函数。学习复合函数时应分清复合关系,会把复合函数拆成一串基本初等函数或基本初 等函数的四则运算形式,为学习第三章打卜?良好的基础。(三) 关于初等函数和函数的性质1. 基本初等函数是我们学习的基础,出它们构成了微积分研究的主要对象一一初 等函数。因此,必须掌握六类基本初等函数的表达式、定义域、主要性质、值域、图形。2. 由基本初等函数经过有限次 、一、X、m或复合构成的函数称为初等函数, 曲它的构成方法可知,初等函数只能用一个数学式了表达。需用分段表示的函数,不是初等函数。微符号分主耍研究初等函数,有时也研究非初等函数。3?对于奇偶函数,其定义域必须是关于原点对称的区间。如 xxyO (2),根木无法讨论它是奇函数还是偶函数。(四) 其它问题1. 复合函数 )(xfy 与函数)(x u 的定义域是否相同?答:一般来说不相同,因为 )(x fy 要求数值)(x 落在)(u fy 的定义域内,而)(X U 的値域可能超出)(U fy 的定义域。所以复合函数 )(x fy 的定义域通常是函数)(xu 的定义域的真子3集。例女口 u u f y arcsin )(21,1 与),(xu 的定义域分别是2arcsin ) ( x x f y 的定义域112)(X X 的定义域),( 的真子集。2. 有的事物具有二重性,函数也如此,函数xy ,它是分段函数。xX xy它不能由基木初等函数用四则运算或复合运算得到,因此,它不是初等函数,然 而2x x y它是幕两数的复合函数,是初等两数。二、例题分析例1 为下列各题选择正确答案:(1)如图的集合对应是函数关系的为( )(2)函数X X xf1)(的定义域是()(A) )0,((B) ),0((C)),((D) ),0()0,()(3)函数2x x y 的值域是()(A) ),0((B) 2,0(C) 1,0(D)1,0 )4(4) 设 x e fx)(,则(A)10ee10(5) 设函数()10 (f ((B)数的为(A)2)(xf(C)2 xfy(6)(A)xy)(C) 10 In)(x f 在)0 )(,( )卜?列式中是复合函数的为(D)a a ae In内有定义,则下列函数中不一定是偶函(B) )()(xfxf(D))((B) )0(XXV(C)2xy解 fy)2(1即当0 x时,表达式有意义,故正确答案选择(A)。 时,X X(D) 1(1)函数的定义是对定义域内每一个值,都是唯一的y值,满足)(x ,以此判断,正确答案应选择(B)选项(A) , (D)中,D内有一点对两个y的值,不是我们定义的函数,而选项(C)中D内有一点 没有对应值。⑵只有当,0(3)因为1 021 ,0 o因此1 0,所以函数定义域为2(C) , (D)屮选一。22)21(41XXX2XX 的最大值为41正确答案应选择(D)(4) 方法1。先求)(xf。令t x t exIn ,,In ) (ttf , In ) ( x x f 10 In ) 10 ( f正确答案应选择(C)
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