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专题10函数的周期性与对称性-2017原创精品之高中数学黄金100题系列(原卷版)

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第10题 函数的周期性与对称性I.题源探究-黄金母题例1设= -1-X求证:(1)/(一兀)=/(兀);(2)/(-) = -/(x) X精彩解读【解析】(1)?/ \ _ 1 + (-X)2 _ I心2=厂「??? /(一兀)=/(X)【试题来源】人教版A版必修一第44页A组第8题【母题评析】本题以/(x) = -^-4为载体,考查函 数奇偶性的证明、复合函数的运算问题,此类问 题是高考常考的题型之一。(2)J 1 + (丄)2 兀2 ]/(-)=—二=7X ]_(丄)2 兀 一1X一/心一戶二斗]_JT JT _]例2?容易知道,正:齳=sinx是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称小心。除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,对称轴的方程是?你能用己学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对于弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题!窘馕觥坑芍芷诤男灾手,T=2n所以对称中心为伙如0)伙ez),正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数JT的性质知其对称轴方程纬X = — + k7T(k G Z)。27F对于余弦函数同样有类似的性质,因为cosA=sin(A+-)2所以对称屮心为(- + ^,0)伙wZ),余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知X=K n (K为整数)【思路方法】赋值法是解决复合函数、函数奇偶 性的判断问题常用的解题方法之一,使用时要注 意赋值的合理性。精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据, 让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴, 然后类比正弦函数,在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性,此题的结论也是高考常考的知 识点!舅悸贩椒ā恳跃商叫率且恢种匾难、解题方法,这种类比推理思想是近几年高考试题常常正切函数同样有类似的性质,対称中心为(k兀/2,0)(K为采用的命题形式。y精彩解读【试题來源】人教版A版必修四第47页B组第3题【母题评析】本题以y=f(x)的图象为载体,考査 函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式(根据图像求解析式)问题,此类问题是高考常 考的题型之一。(3)当-lWxV0 时,f (x) =-x,当 0WxVl 时,f (x) =xr:当 2n?lWxV2n 时,f (x) =f (x-2n) =- (x-2n) =2n-x,当 2nWxV2n+l 时,f (x) =f (x-2n) =x-2n, [2n-x,2n-Y<x< 2n"4 -2“,2宀<2“+l 5 为整数)【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的 解题思想之一,特别是在解决函数问题中起着举 足轻重中的作用,因此,通常说“解决函数问题, 数形结合你准备好了吗? ”。整数)但不是轴対称图形,而是中心対称图形。例3已知函数y=f(x)的图象如图所示,试回答下列问题:(1)求函数的周期;⑵画出函数y = f(x+l)的图象;⑶你能写出函数y = f(x)的解析式吗?考点:函数的图象,函数解析式的求解及常用方法【解析】(1)从图彖得知,X从0变化到1,函数经历22T个周期,即- = 1,故函数的周期T-2;2(2)函数y二f (x+1)的图彖可由函数y=f (x)的图彖向 左平移1个单位得到,因为函数y二f (x)的图象过点(0,0)、点(1, 1)所以y二f (x+1)的图象经过(-1, 0)、点(0, 1),再根据函数为周期函数画出图象:点评:本题主要考查函数的图象的变换,及求函数的解析 式,属于基础题. II.考场精彩?真题回放【例1】[2016年高考山东理数】已知函数7U)的定义域为r,当兀vo时,y(x) = x3-i ;当一 1<%<1 时,/(-X)= -f(x);当!怠笔,/(X+ *) = / (兀一 *). 则夬6)二()(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 2【答案】D【解析】当兀 >丄时,.广(兀+丄)=于(兀一丄),所以当2 2 2x>|时,函数/(兀)是周期为1的周期函数,所以【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性,是高考常考知识内容. 本题具备一定难度?解答此类问题,关键在于利用 分段函数的概念,发现周期函数特征,进行函数 值的转化?本题能较好的考查考生分析问题解决 问题的能力、基本计算能力等./(6) = /⑴,又函数f(x)是奇函数,所以 /(I) = -/(-I) = -[(-I)'-1] = 2,故选 D.【例2] [2016高考新课标1卷】己知f(x) = sin(a)x+(p)0>0,岡5彳),兀=—合为/(兀)的零点‘兀=彳为 y = /(x)图像的对称轴,且f(x)在(名,辛)单调,则3\ O 30【考试方向】这类试题包括确定函数周期性.对的最大值为(r )(A) 11 (B) 9 (C) 7 (D) 5【答案】BJI 7T【解析】因为x = --为f(x)的零点,x 为/(X)图像4 4的对称轴,所以= -+^r,E|j- = ^^r =4 4 4 2 44? + 1 2龙 ,所以 co = 4k +1? eTV*,又因为 /(x)在 4 co'7Z 5/F 亡l i '冗 TC 7C T—,— 单调,所以 =—5 —=—,即⑵5 12,(18 36) 36 18 12 2 Im称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称 性进行图像变换,都是高考的热点及重点?常与函数的图象及其他性质交汇命题?题型多以选择题.填空题形式出现"函数的周期性.对称性常与函数的其他性质,如与单调性.奇偶性相结合求函市此Q的最大值为9?故选B.数值或参数的取值范围?备考时应加强对这部分内容的训练.【例3】【2016高考浙江理数】设函数/(x) = sin2x +bsinx^c ,则/(兀)的最小正周期()A.与b有?关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【答案】B【难点中心】对于函数性质的考查,一般不会单 纯地考查某一个性质,而是对奇偶性、周期性、 单调性的综合考查?,主要考查学生的综合能力、 创新能力、
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