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高中数学 2.1《矩阵表示的变换》教案 湘教版选修4-2

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§2.1矩阵表示的变换教学目标: 一、知识与技能:了解数学实验研究方法,理解切变换的几何意义;初步运用矩阵所表示的变换研究问题。二、方法与过程回顾上一章五种特殊的线性变换×历欣赏、画图、观察、动手操作、验证等过程,发现矩阵所表示变换的几何性质。三、情感、态度与价值观形成解决问题的策略和方法,体会一他人合作的重要性,获得解决问题的经验,体验探索 的乐趣。教学重点:矩阵所表示变换的几何性质探究教学难点:矩阵所表示变换的几何性质的理论证明教学过程一、复习引入: 1、基本概念(1)二阶矩阵:由四个数,,,排成的正方形数表称为二阶矩阵。特别地,称二阶矩阵为零矩阵,简记为0。称二阶矩阵为二阶单位矩阵,记为。(2)向量:向量()是一对有序数对,叫做它的两个分量,且称为列向量,()为行向量。同时,向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵(1)线性变换在平面直角坐标系中,把形如(其中,,,为常数)的几何变换叫做线性变换。(2)旋转变换坐标公式为,变换对应的矩阵为(3)反射变换①关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为;②关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为;③关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为;(4)伸缩变换坐标公式为对应的二阶矩阵为;(5)投影变换①投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为; ②投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为二、问题探究实验1 研究矩阵所表示变换的几何性质。这个矩阵表示的变换将点P()变到(),变换前后的点的坐标之间的关系为= 即 。1)为了考察变换的作用效果,先用平行于坐标轴的直线,(取整数 0,,,…)将平面分成一个个边长为1的正方形。在这些正方形组成的网格中画一个圆,以及一个由曲线组成的图形。如图2-1 观察并比较变换前后 的图形,看有什么变化,是否有什么性质保持不变:吹拿扛稣叫伪涑墒裁赐夹危克那咄夹伪涑墒裁赐夹危坑捎谒械牡阕瓴槐,平行或重合于轴的直线仍变为自身。由变换式(1)中可解出=,因此,平行于轴的直线变成,仍是一条直线,仍然过点(,0),但低利率为1,倾斜角为。但这些直线并非沿顺时针方向旋转,而是由于直线上的点P()向右(当时)或向左(当时)平行移动到(,)而导致的直线倾斜。原来的边平行于坐标轴的正方形都被变成平行四边形,圆被变成椭圆。而曲线图形也被相应地向右倾斜变形。例、求一条直线在变换下的方程解:将=,代入直线方程,得到整理得:,图像仍是一条直线一般地,由矩阵表示的变换都是将平行或重合于轴的直线沿着于轴平行的方向移动,带动垂直于轴的直线向右或向左倾斜,这样的变换称为沿方向的切变。由矩阵表示的变换则是沿方向的切变。切变变换具有以一性质:(1)直线仍变成直线(2)平行直线仍变成平行直线;(3)保持平面图形的面积不变实验2 对矩阵决定的线性变换A,在直角坐标系中画出 由平行于坐标轴的直线,(取整数 0,,,…)所组成的网格,并在网格中画出圆和适当的图形。网格和图形被变换A变成什么样的图形?画图观察,经过变换之后,图形的哪些性质仍然保持?观察发现:(1)直线仍变成直线(2)平行直线仍变成平行直线;(3)同一方向上长度相等的线段仍变成同一方向上长度相等的线段。三、课堂练习取矩阵决定线性我A,研究如下问题:(1) 求任意一条直线在变换A作用下的像的方程。方程的图像是什么形状?(2) 两条平行线,()在变换A作用下的像是什么图形?是否还是两条平行直线?(3) 画图或理论证明,研究变换A是否保持图形的形状或大小 解:(1)设变换A:P()变到(),则= 即  有代入得所以其方程为,仍是一条直线。(2)由(1)得直线变换后的方程为所在在变换A作用下的像还是直线,且还是两条平行直线。(3)变换A保持图形的相似四、小结1、由矩阵表示的变换是沿方向的切变;由矩阵表示的变换则是沿方向的切变。2、切变变换具有以一性质:(1)直线仍变成直线(2)平行直线仍变成平行直线;(3)保持平面图形的面积不变教学反思:- 5 -用心 爱心 专心
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