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高中数学 九连环的历史玩法和它的数学问题素材

'高中数学 九连环的历史玩法和它的数学问题素材'
九连环的历史、玩法和它的数学问题九连环是中国的一种古代智力玩具,2004年A版的《普通通课程标准实验教科书》(新课标)数学5中,已编入。这将对学生学习数学的兴趣和智力开发大有益处。本文就九连环的历史、玩法及引出的数学问题,作一论述。一、九连环的历史九连环是中国人的发明,这是没有疑问的。宋代(公元960-1279)已经流行,至今已有800多年的历史。有关它的发明史,还有一些不同的说法。 1,春秋战国说    《战国策·齐策六》:“秦昭王尝遣使者遗君王后玉连环,曰:‘齐多智,而解此环否?'君王后以示群臣,群臣不知解,君王后引锥椎破之,谢秦使曰:‘谨以解矣!'” 有人以此认为早在春秋战国时就有了九连环玩具。这“玉连环”是否就是现在所说的九连环,还须证据。但那时已经有了连环一类的玩具。2,西汉说    西汉司马相如与妻子通信,妻子回信中有: 一别之后,二地相思。 都说是三四月,谁又知五六年。 七弦琴无心弹,八行书不可传。 九连环从中折断 ,十里长亭望眼欲穿。百思想,千系念。万般无奈,把郎怨。 这里明确用了“九连环”这个词。是连在一起的能玩的玩具一类的东西。时间是西汉。3,三国说  认为是诸葛亮发明,但这并无证据,估计是由于诸葛亮是智慧的代表,特别是他能造出木牛流马这样不可思议的东西。那么不知来历的巧妙玩意儿,像孔明灯、孔明锁,都冠以诸葛的名字,也就不奇怪了。如果是这样,那九连环的流行,应在三国之后。    总之,九连环产生在古代中国,这已为世界所公认。    又在《红楼梦》第七回中,就有大观园中小姐们玩九连环的描写,……周瑞家的奉薛姨妈之命,送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们,每人两朵。找黛玉时,“谁知此时黛玉不在自己房中,却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。 二、九连环的结构1、 环钗:由一根金属丝制成(图1)图1环钗2、环底:一椭圆金属盘钻有9个小孔,可穿环干。(图2 的中部) 图2环 环杆 环底 3、环与环杆:环由金属丝制成,每一环带一金属环杆(图2) 将环及环杆编号如图2,每一个环由环杆穿过下一个环,再连按到环座上。从而使九个环成叠错相连的关系。九连环的奥秘就是由它们的这种结构引起的。当把九个环都套在环柄上时成图3状。 图3三、九连环的玩法 1、上环:将1号环提起从环钗下面向上穿过(图4)转90度套在环钗上。(图5)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 图4图5依次上2环,下1 环(将1 环提起转90度从钗架中间放下), 上3 环,上1 环,下2环,下1 环,上4环……直到把9个环都 套上。若以“0 0 0 0 0 0 0 0 0”表示9个环都在钗架下,“1 1 1 1 1 1 1 1 1”表示9个环都在钗架下,则环上架的状态可表示为:对应环号9 8 7 6 5 4 3 2 1上1 环:0 0 0 0 0 0 0 0 1;上2 环:0 0 0 0 0 0 0 1 1;下1 环;0 0 0 0 0 0 0 1 0;上3 环;0 0 0 0 0 0 1 1 0;上1 环;0 0 0 0 0 0 1 1 1;下2 环;0 0 0 0 0 0 1 0 1;下1 环;0 0 0 0 0 0 1 0 0;这一步是关键,只有下1 环,才在下步上4环。上4 环;0 0 0 0 0 1 1 0 0;上1 环;0 0 0 0 0 1 1 0 1;上2 环;0 0 0 0 0 1 1 1 1;下1 环;0 0 0 0 0 1 1 1 0;这一步也是关键,下一步才能下3环。下3 环;0 0 0 0 0 1 0 1 0;上1 环;0 0 0 0 0 1 0 1 1;下2 环;0 0 0 0 0 1 0 0 1;下1 环;0 0 0 0 0 1 0 0 0;这一步也是关键,下一步才能上5环。上5 环;0 0 0 0 1 1 0 0 0;接下来上6环,必先下掉4环……直到把9个环都套到钗架上。但上面的几处关键需加注意。 2、下环:下1环(将1 环取出提起转90度从钗架中间放下),下3 环,上1 环,下2 环,下1 环,下5环……直到把9个环都从环钗上取下。但有几个关键处需加注意;若以“1 1 1 1 1 1 1 1 1”表示9个环都在钗架上,“0 0 0 0 0 0 0 0 0”表示9个环都已下架,则环下架的状态可表示为:对应环号9 8 7 6 5 4 3 2 11环下:1 1 1 1 1 1 1 1 0;3环下:1 1 1 1 1 1 0 1 0;1环上:1 1 1 1 1 1 0 1 1;2环下:1 1 1 1 1 1 0 0 1;1环下:1 1 1 1 1 1 0 0 0;这是关键,只有下1环,才能解下5环。5环下:1 1 1 1 0 1 0 0 0;这时要解下4环,把3环套上环钗成“1 1 1 1 0 1 1 0 0”状态时才能解下4环。这时接着5环下的状态再操作;1环上、1 1 1 1 0 1 0 0 1;2环上,1 1 1 1 0 1 0 1 1;1环下,1 1 1 1 0 1 0 1 0;3环上,1 1 1 1 0 1 1 1 0;1环上,1 1 1 1 0 1 1 1 1;2环下,1 1 1 1 0 1 1 0 1;1环下:1 1 1 1 0 1 1 0 0;4环下:1 1 1 1 0 0 1 0 0;这是关键这处,再接下就是要下3环必先套上2环,要下2环必先套上1 环。再往后就是要下6环必先套上5环……,直到解下9环。要解下8环必先套上7环,一直往前推,到最后解下1 环,9个环全部解下钗架成“0 0 0 0 0 0 0 0 0”状态。四、九连环的数学问题1、从钗架上把9个环全部解下来,最少得移动多少次环?由九连环的玩法我们看到,为了解下第i个环必须先解下前(i-2)个环,才能解下第i个环。这就是我们要遵循的一个规则。 (1)我们不妨考虑n( n=9)个圆环的情况设K(n)表示解下全部n个环所需的最少移动环的次数显然K(1)=1次,即解下第1个环需移动 1次环K(2)表示解下前2个环所需移动环的次数,由玩法知K(2)=2次若要解下第n个环,就必先解下前(n-2)个环,需要K(n-2)次,然后再移动 一次即可将第n个环解下,这时钗架上只剩下第(n-2)个环。若我们再用k(n)表示前(n-1)个环都已经解下后,再解下第n个环所需的次数,则可得下式:K(n)=K(n-2)+1+k(n-1) ①(2)我们求k(n)的表达式由玩法可知,若要将第n个环解下,必须先将第(n-1)环套回钗架,这个过程需k(n-1)次,这时再移
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