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高中数学 空间向量与立体几何知识解析 新人教A版必修2

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专题补充学习-----空间向量法解决立体几何问题一.知识回顾:1、空间向量的坐标运算:空间直角坐标系的x轴是横轴(对应为横坐标),y轴是纵轴(对应为纵轴),z轴是竖轴(对应为竖坐标).①令,则,, ∥ (用到常用的向量模与向量之间的转化:)2、空间两点的距离公式:.专题提纲一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量;2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系;(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度;3、求解空间中的距离。一.引入两个重要的空间向量ABZYXO1.直线的方向向量:把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是nα2.平面的法向量:如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量. 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α. nba4.求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 【例题赏析】 例1:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxybaba二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b【例题赏析】 例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证: C C1⊥BDA1B1C1D1CBADnaαL(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α. nLαa①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α②若a⊥n,即a·n = 0,则L ∥ α.【例题赏析】 例3:棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,? D,E分别是AC,CC1的中点,求证:? (I)A1E ⊥平面DBC1;? (II)AB1 ∥ 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 αββαn1n1n2n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β【例题赏析】例4:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D12.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.【例题赏析】 例5:如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. BC A MxzyB1C1D1A1CDMA(2)直线与与平面所成的角若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ= -<a,n>或θ= <a,n>- (下图) .naa θθααn                                                          于是,因此【例题赏析】例6:正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ,求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO(3)二面角BAo设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量,由几何知识可知,二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等(选取法向量竖坐标z同号时相等)或互补(选取法向量竖坐标z异号时互补),于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角,这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.BAo①、二面角 是锐二面角BAo②、二面角 是钝二面角BAo【例题赏析】例7:在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°,侧棱SA⊥底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求二面角A-SD-C的大小.ADSBxyCzAθHBnα(2)点到平面的距离A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH. = =
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