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高中数学 第三章3.3.1课时活页训练 苏教版选修1-1

'高中数学 第三章3.3.1课时活页训练 苏教版选修1-1'
一、填空题1.若函数y=a(x3-x)的递减区间为(-,),则a的取值范围是________. 解析:∵y=a(x3-x)的递减区间为(-,),∴y′=a(3x2-1)在区间(-,)上,y′<0恒成立.又∵在(-,)上,3x2-1<0且a≠0,∴a>0. 答案:a>02.函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调增区间是________. 解析:∵f(x)=lnx-ax,∴f′(x)=-a>0,∴x<.又f(x)有意义,x>0,∴0<x<. 答案:(0,)3.函数f(x)=ax+(a>0且b>0)的单调减区间是__________. 解析:∵f(x)=ax+,∴f′(x)=a-,∵f′(x)<0,∴x2<,∴-<x<.又x≠0,∴-<x<0或0<x<. 答案:(-,0)和(0,)4.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1的单调减区间为(-2,0),则p的集合为__________.解析:∵f(x)=x3-px2+2m2-m+1,∴f′(x)=3x2-2px.∵f(x)在(-2,0)上是减函数,∴f′(x)=3x2-2px<0,<x<0,∴=-2,∴p=-3,∴p的集合是{p|p=-3}. 答案:{p|p=-3}5.若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且x∈[a,b]时,f′(x)>0,又f(a)<0,则下列结论正确的是________.①f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)>0②f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)<0③f(x)在[a,b]上单调递减,且f(b)<0④f(x)在[a,b]上单调递增,但f(b)的符号无法判断 解析:由于f′(x)>0,所以函数是增函数,f(b)>f(a),但由f(a)<0,无法判断f(b)的符号. 答案:④6.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)+f(x)>0恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是________.①af(a)>bf(b)、赼f(b)>bf(a)③af(a)<bf(b)、躠f(b)<bf(a) 解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x),由条件知g(x)是R上的增函数,所以g(a)>g(b),即af(a)>bf(b). 答案:①7.如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________. 解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-=.由f′(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);由f′(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间(0,).由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<.又(k-1,k+1)为函数f(x)定义域内的一个子区间,所以k-1≥0,即k≥1.综上所述,1≤k<. 答案:1≤k<8.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2],则b=________,c=________. 解析:因为f′(x)=3x2+2bx+c,所以根据题意知3x2+2bx+c≤0的解集是[-1,2],所以-1,2是一元二次方程3x2+2bx+c=0的两根,所以-1+2=-,(-1)×2=,所以b=-,c=-6. 答案:-。69.若函数f(x)=x3-mx2+2m2-5的单调减区间是(-9,0),则m=________. 解析:因为f′(x)=3x2-2mx=3x(x-m),所以根据题意知m<0,x(x-m)<0的解集是(m,0),所以m=-9,即m=-. 答案:-二、解答题10.已知函数f(x)=(x2+)(x+a)(a∈R).(1)若函数f(x)有与x轴平行的切线,求a的取值范围;(2)若f′(-1)=0,求函数f(x)的单调区间. 解析:∵f(x)=x3+ax2+x+a,∴f′(x)=3x2+2ax+.(1)∵函数f(x)有与x轴平行的切线,∴f′(x)=0有实数解,则Δ=4a2-4×3×≥0,a2≥,所以a的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).(2)∵f′(-1)=0,∴3-2a+=0,a=,∴f′(x)=3x2+x+=3(x+)(x+1).由f′(x)>0得x<-1或x>-;由f′(x)<0得-1<x<-.∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(-,+∞);单调递减区间是(-1,-).11.已知函数f(x)与g(x)均为闭区间[a,b]上的可导函数,且f′(x)>g′(x),f(a)=g(a),证明:当x∈[a,b]时,f(x)≥g(x). 证明:构造函数F(x)=f(x)-g(x),由已知可得F(x)在[a,b]上可导,且F′(x)=f′(x)-g′(x)>0,∴F(x)在[a,b]上是单调递增的.∴对任意x∈[a,b]有F(x)≥F(a).∵f(a)=g(a),∴F(x)=f(x)-g(x)≥f(a)-g(a)=0,∴f(x)≥g(x).12.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围. 解:f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=ex[x2+2(1-a)x-2a].令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0.解得x1=a-1-,x2=a-1+,其中x1<x2.当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况见下表:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)∵a≥0,∴x1<-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减.由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数需x2≥1,即a-1+≥1,解得a≥.故所求a的取值范围为[,+∞).
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