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高中数学 考前归纳总结 直线圆锥曲线常见的几种题型

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直线圆锥曲线常见的几种题型一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在) ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” >0; ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或); ④“共线问题” (如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等); ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想:1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;例1.已知A、B、C是椭圆上的三点,其中点A的坐标为 ,BC过椭圆m的中心,且.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y 轴负半轴的交点,且.求实数t的取值范围. 解(1)椭圆m:(2)由条件D(0,-2) ∵M(0,t)1°当k=0时,显然-2<t<2 2°当k≠0时,设 消y得 由△>0 可得 ①设则 ∴ 由 ∴ ②∴t>1 将①代入②得 1<t<4∴t的范围是(1,4) 综上t∈(-2,4) 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 例2.已知圆:及定点,点是圆上的动点,点在 上,点在上,且满足=2,·=.(1)若,求点的轨迹的方程;(2)若动圆和(1)中所求轨迹相交于不同两点,是否存在一组正实数, 使得直线垂直平分线段,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由. 解:(1)∴点为的中点, 又,或点与点重合.∴ 又 ∴点的轨迹是以为焦点的椭圆, 且,∴的轨迹方程是 (2)解:不存在这样一组正实数,下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数,当直线的斜率存在时,设之为,故直线的方程为:,设,中点,则,两式相减得:.注意到,且 ,则 , ②又点在直线上,,代入②式得:.因为弦的中点在⑴所给椭圆内,故, 这与矛盾,所以所求这组正实数不存在. 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,则此时,代入①式得, 这与是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在. 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。例3、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值; 例3、解(1)。 ,设 则 点在曲线上,则 从而,得,则点的坐标为(2)由(1)知轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为, 则PB的直线方程为: 由 得 设则 同理可得,则 所以:AB的斜率为定值。4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,例4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标. 解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为. (Ⅱ)设,, 联立, 得,又,因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,,即,,,.解得:,,且均满足, 当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;当时,的方程为,直线过定点. 所以,直线过定点,定点坐标为. 5、 求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决;例5.设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线DFByxAOE 与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点. (1)若,求的值; (2)求四边形面积的最大值. 解:依题设得椭圆的方程为,DFByxAOE 直线的方程分别为,. 2分 如图,设,其中, 且满足方程, 故.① 由知,得; 由在上知,得. 所以,化简得,解得或。。6分 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为 , . 又,所以四边形的面积为 , 当,即当时,上式取等号.所以的最大值为。 解法二:由题设,,. 设,,由①得,, 故四边形的面积为 , 当时,上式取等号.所以的最大值为. 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 例6.如图,已知椭圆的中心在
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