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高中数学 课后强化训练(含详解) 3.1.3 新人教版必修4

'高中数学 课后强化训练(含详解) 3.1.3 新人教版必修4'
3.1.3一、选择题1.在△ABC中,若0<tanBtanC<1,则△ABC是(  )A.锐角三角形     B.钝角三角形C.直角三角形 D.形状不能确定[答案] B[解析] ∵0<tanBtanC<1,∴B,C均为锐角,∴<1,∴cos(B+C)>0,∴cosA<0,∴A为钝角.[点评] 也可用两角和的正切公式判断:由条件知,tanB>0,tanC>0,∴tan(B+C)=>0.∴B+C为锐角,从而A为钝角.2.给出下列三个等式f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)·f(y),f(x+y)=,下列函数中不满足其中任何一个等式的是(  )A.f(x)=3x B.f(x)=sinxC.f(x)=log2x D.f(x)=tanx[答案] B[解析] 对选项A,满足f(x+y)=f(x)·f(y),对选项C,满足f(xy)=f(x)+f(y),对选项D,满足f(x+y)=,故选B.3.化简tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°的值等于(  )A.1 B.2C.tan10° D.tan20°[答案] A[解析] ∵tan(20°+10°)=,∴tan20°+tan10°=tan30°(1-tan20°tan10°),∴原式=tan10°tan20°+tan30°(1-tan20°·tan10°)=tan10°·tan20°+1-tan20°·tan10°=1.4.已知tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为(  )A. B.-C.或- D.-或[答案] B[解析] 由韦达定理得tanα+tanβ=-3,tanα·tanβ=4,∴tanα<0,tanβ<0,∴tan(α+β)===又-<α<,-<β<,且tanα<0,tanβ<0∴-π<α+β<0,∴α+β=-.[点评] 由tanα与tanβ的和与积,先判断tanα与tanβ的符号,可进一步限定角α、β的取值范围.请再做下题:已知tanα、tanβ是方程x2+x-2=0的两个根,且-<α<,-<β<,则α+β的值是(  )A.- B.-C.或- D.-或[答案] A[解析] 由韦达定理得,tanα与tanβ一正一负,不妨设tanα>0,tanβ<0,则0<α<,-<β<0,∴-<α+β<,又tan(α+β)==-.∴α+β=-.5.设α和β是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中不正确的是(  )A.tanα·tanβ<1 B.sinα+sinβ<C.cosα+cosβ>1 D.tan(α+β)<tan[答案] D[解析] 取特例,令α=β=可得,tan(α+β)=,tan=,∴tan(α+β)>tan,∴D不正确.6.的值为(  )A.2+ B.C.2- D.[答案] C[解析] sin6°=sin(15°-9°)=sin15°cos9°-cos15°sin9°,cos6°=cos(15°-9°)=cos15°cos9°+sin15°sin9°,∴原式=tan15°=tan(45°-30°)==2-,故选C.7.已知α、β为锐角,cosα=,tan(α-β)=-,则tanβ的值为(  )A.   B.   C.   D.[答案] B[解析] ∵α是锐角,cosα=,故sinα=,tanα=∴tanβ=tan[α-(α-β)]==.8.在△ABC中,若tanB=,则这个三角形是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形[答案] B[解析] 因为△ABC中,A+B+C=π,所以tanB===,即=,∴cos(B+C)=0,∴cos(π-A)=0,∴cosA=0,∵0<A<π,∴A=,∴这个三角形为直角三角形,故选B.9.已知sinα=,α为第二象限角,且tan(α+β)=1,则tanβ的值是(  )A.-7 B.7C.- D.[答案] B[解析] 由sinα=,α为第二象限角,得cosα=-,则tanα=-.∴tanβ=tan[(α+β)-α]===7.10.若a=tan20°,b=tan60°,c=tan100°,则++=(  )A.-1 B.1C.- D.[答案] B[解析] ∵tan(20°+100°)=,∴tan20°+tan100°=-tan60°(1-tan20°tan100°),即tan20°+tan60°+tan100°=tan20°·tan60°·tan100°,∴=1,∴++=1,选B.二、填空题11.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值为________.[答案] [解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]===.12.化简=________.[答案] tan42°[解析] 原式==tan(60°-18°)=tan42°.13.已知tan=,tan=-,则tan=________.[答案] [解析] tan=tan==.14.不查表求值:tan15°+tan30°+tan15°tan30°=______.[答案] 1[解析] tan15°+tan30°+tan15°tan30°=tan(15°+30°)(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1.三、解答题15.化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)].[分析] 对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角式的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函数的和的倍数;另一个特征是这两个角的和(18°-x)+(12°+x)=30°,而30°是特殊角,根据这两个特征,很容易联想到正切的和角公式.[解析] ∵tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan30°=∴tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]于是原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+·[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.16.设tanα,tanβ是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0的两根,求证:tan(α+β)的最小值是-.[解析] 由tanα,tanβ是方程的两根得?a≤且a≠0,又,∴tan(α+β)===--a≥--=-.∴
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