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高中数学4.2 直线与圆的位置关系 教案1人教版必修2

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直线与圆的位置关系●知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.①d<R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d>R,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.●点击双基1.(2005年北京海淀区期末练习题)设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析:圆心到直线的距离为d=,圆半径为.∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C2.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于A. B. C.1 D.5解析:圆心到直线的距离为,半径为,弦长为2=.答案:A3.(2004年全国卷Ⅲ,4)圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为A.x+y-2=0 B.x+y-4=0C.x-y+4=0 D.x-y+2=0解法一:x2+y2-4x=0y=kx-k+x2-4x+(kx-k+)2=0.该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k=.∴y-=(x-1),即x-y+2=0.解法二:∵点(1,)在圆x2+y2-4x=0上,∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又∵圆心为(2,0),∴·k=-1.解得k=,∴切线方程为x-y+2=0.答案:D4.(2004年上海,理8)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程为____________.解析:∵圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-2),∴由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上.又已知圆心在直线2x-y-7=0上,解得x=2,∴联立 y=-3,2x-y-7=0. ∴圆心为(2,-3),半径r=|AC|==.∴所求圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.答案:(x-2)2+(y+3)2=55.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是___________.解析:利用数形结合.答案:-1<k≤1或k=-●典例剖析【例1】 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.剖析:由于OP⊥OQ,所以kOP·kOQ=-1,问题可解.解:将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1、y2满足条件y1+y2=4,y1y2=.∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2,∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为(-,3),半径r=.评述:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】 求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.剖析:根据已知,可通过解方程组得圆上两点,(x+3)2+y2=13,x2+(y+3)2=37 由圆心在直线x-y-4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0,再由圆心在直线x-y-4=0上,定出参数λ,得圆方程.解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0.展开、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+.圆心为(-,-),代入方程x-y-4=0,得λ=-7.故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2= .评述:圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1、C2相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R且λ≠-1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.(1)证明:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.得∵m∈R,∴ 2x+y-7=0, x=3,x+y-4=0, y=1,即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|=<5(半径),∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.(2)解:弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-,∴l的方程为2x-y-5=0.评述:若定点A在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论 求直线过定点,你还有别的办法吗?●闯关训练夯实基础1.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的范围是A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]解析:数形结合法解.答案:A2.(2003年春季北京)已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在解析:由题意得=1,即c2=a2+b2,∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形. 答
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