• /  12
  • 下载费用: 14.9积分  

高中数学高考知识模块复习指导学案——不等式【II】

'高中数学高考知识模块复习指导学案——不等式【II】'
高考数学知识模块复习指导系列学案——不等式【II】例3 已知i、m、n是正整数,且1<i≤m<n,(1)证明:niAmi<miAni;(2)证明:。证明 (1)对于1<i≤m,有Ami=m……(m-i+1),∵=·……,同理=·……。由于m<n,∵对于整数k=1,2,…,i-1,有>,所以>即 miAni>niAmi(2)由二项式定理有(1+m)n=1+Cn1m+Cn2m2+…+Cnnmn(1+n)m=1+Cm1n+Cm2n2+…+Cmmnm由(1)知miAni>niAmi (1<i≤m<n)而Cmi=, Cni=,°∴miCni>niCmi (ki≤m<n)∴m0Cn0= n0Cn0=1, mCn1= nCm1=m·n, m2Cn2>,…mmCnm> nmCmm, mm+1Cnm+1 >0,…, mmCnn >0,∴1+ Cn1m + Cn2m2+…+ Cnnmn >1+ Cm1n+ Cm2n2 +…+ Cmmnn,即(1+m)n>(1+n)m成立。注 本题是2001年全国高考数学试题,上述证明方法关键是配对。除了上述证法外,本题还有许多另外的证法,下面另举两种证法。(1)法一:令n=m+k,(k∈N)对自然数t=1,2,…,i-1,t<m,有<,从而得:1+<1+∴(1+)i<(1+)(1+)…(1+)∴()i<∴(m+k)im(m-1)…(m-i+1)<mi(m+k)(m+k-1)…(m+k-i+1)即niAmi<miAni法二:因为i、m、n是正整数,且1<i≤m<n,不妨设n=m+k(其中k∈N)。下面对正整数i实施数学归纳法。(i)当i=2时,左边=n2Am2=n2m(m-1)=n2 (m2-m)=(m+k) 2 (m2-m)=m2·(m+k)2-m·(m+k) 2,右边=m2An2=m2n(n-1)=m2 (m+k)(m+k-1)=m2 (m+k) 2-m2 (m+k)∵(m+k) 2>m·(m+k) ∴m(m+k) 2<m2 (m+k)故m2 (m+k) 2-m(m+k) 2<m2 (m+k) 2-m2 (m+k),即左边<右边,这说明i=2时,原不等式成立。(ii)假设i=k′时,成立!摺唷嗾馑得鱥=l+ k′时,也成立。由(i)(ii)可知,对于满足条件1<i≤m的所有自然数i,原不等式都成立。(2)法一:令f(k)=(k≥3,k∈N)∵=· ==>1∴f(n+1)>f(n)∴当k≥3,k∈N时,f(k)单调递增,又∵∴kk+1>(k+1)k,即k>(k+1)于是经过有限次传递,必有:(n+1)<(m+1)∴(1+m)n>(1+n)m法二:(1+m)n>(1+n)mnlg(1+m)>mlg(1+n)>令f(n)= ,n≥2又,即>(1+n)n+1>(2+n)n()n>(1-)n>∵n≥2,->-1∴由贝努利不等式得(1-)n>1-=>∴>,∴f(n)单调递减,又∵m<n∴>∴(1+m)n>例4解下列关于x的不等式:(1)a2x+1≤ax+2+ax-2(a>0);(2)loga(1-)>1(a>0且a≠1)。解在解指、对数不等式时,常要对底数a进行分类,然后依据其函数的单调性来实现转化,在转化过程中注意不等式解的等价性。(1)原不等式等价于a2x-(a2+a-2)ax+1≤0(ax-a2)(ax-a-2) ≤0(i)当0<a<1时,a2<a-2,∴a2≤ax≤a-2即-2≤x≤2(ii)当a>1时,a2>a-2,∴a-2≤ax≤a2即-2≤x≤2(iii)当a=1时,x为一切实数。综上所述:当0<a<1或a>1时,原不等式的解为{x|-2≤x≤2};当a=1时,解集为 R。(2)(i)当a>1时,原不等式等价于1->a1-a>∵1-a<0 ∴<x<0(ii)当0<a<1时,原不等式等价于1<x<综上所述:当a>1时,原不等式解集是{x|<x<0};当0<a<1时,原不等式的解集是{x|1<x<}。注 (1)本题求解过程中易漏掉a=1的情形,希望同学们加以注意。(2)如果应用性质<0f(x)·g(x)<0,就能简化上述解法。事实上(i)当a>1时,原不等式等价于1->a<0x(x-)<0<x<0(ii)当0<a<1时,原不等式等价于0<1-<a(1-)(1--a)<0<0(x-1)(x-)<01<x<记住一些有用的小结论,有利于优化解题过程。例5 设函数f(x)=logb(b>0且b≠1),(1)求f(x)的定义域;(2)当b>1时,求使f(x)>0的所有x的值。解 (1)∵x2-2x+2恒正,∴f(x)的定义域是1+2ax>0,即当a=0时,f(x)定义域是全体实数。当a>0时,f(x)的定义域是(-,+∞)当a<0时,f(x)的定义域是(-∞,-)(2)当b>1时,在f(x)的定义域内,f(x)>0>1x2-2x+2>1+2axx2-2(1+a)x+1>0其判别式Δ=4(1+a)2-4=4a(a+2)(i)当Δ<0时,即-2<a<0时∵x2-2(1+a)x+1>0∴f(x)>0x<-(ii)当Δ=0时,即a=-2或0时若a=0,f(x)>0(x-1)2>0x∈R且x≠1若a=-2,f(x)>0(x+1)2>0x<且x≠-1(iii)当△>0时,即a>0或a<-2时方程x2-2(1+a)x+1=0的两根为x1=1+a-,x2=1+a+若a>0,则x2>x1>0>-∴或若a<-2,则∴f(x)>0x<1+a-或1+a+<x<-综上所述:当-2<a<0时,x的取值集合为x|x<-当a=0时,x∈R且x≠1,x∈R,当a=-2时:x|x<-1或-1<x<当a>0时,x∈x|x>1+a+或-<x<1+a-当a<-2时,x∈x|x<1+a-或1+a+<x<-注 解题时要注意函数的定义域。例6 解不等式(1)≥x+1;(2)|。解 (1)≥x+1≤0x·(x-1)(x+1)(x+2)(x+5)≤0,且x≠-1、-2,由图可知,原不等式的解集为:x|x≤-5或-2<x<-1或0≤x≤1(2)|-x|<1x-1<<x+1而<x+1 解之得:所以,0x≤1-或1+≤x6>x-1 或 解之得:x≤1-或x>2所以原不等式的解集为0,1-(2,6) 注 (1)解高次不等式时常采用数轴标根法,其做法是:先将每个因式分别等于零的根标在数轴上,然后按由上而下,由右向左的次序画图穿过各个零点,选出符合条件的区间。如有重因式,特别注意重
关 键 词:
II 高中数学 高考 知识 模块 复习 指导 不等式
 剑锋文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文
本文标题:高中数学高考知识模块复习指导学案——不等式【II】
链接地址: //www.wenku365.com/p-43422557.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服点击这里,给剑锋文库发消息,QQ:1290478887 - 联系我们

本站为“文档C2C交易模式”,即用户上传的文档直接卖给(下载)用户,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有【成交的100%(原创)】。本站是网络服务平台方,若您的权利被侵害,侵权客服QQ:1290478887 欢迎举报。

[email protected] 2017-2027 //www.wenku365.com 网站版权所有

粤ICP备19057495号 

收起
展开