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二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

'二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)'
二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)一、二次函数知识点一、 二次函数概念:1. 二次函数的概念:一般地,形如y = ax2+bx + c (a, b, c是常数,XO)的函数,叫做 二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数QHO,而b,C可以为零.二 次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y = ax2+bx + c的结构特征:(1) 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.(2) a, b, c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.二、 二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:y = 的性质:a的绝对值越大,抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质67 >0向上(0,0)y轴兀>0时,y随兀的增大而增大;XVO时,y随 x的增大而减小;x = 0时,y有最小值0.a <0向下(0,0)y轴!0时,y随兀的增大而减小;xvO时,y随 兀的增大而增大;兀=0时,y有最大值0.2. y = ax2 +c 的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质67 >0向上(0, C)y轴x>0时,y随兀的增大而增大;xvO时,y随 兀的增大而减小;兀=0时,y有最小值c.67 <0向下(0, c)y轴兀>0时,y随兀的增大而减小;xvO时,y随 x的增大而增大;x = 0时,y有最大值c.3. y = a(x-h\ 的性质:左加右减。Cl的符号开口方向顶点坐标对称轴性质d>0向上?,0)X 二hx>h时,y随兀的增大而增大;x<h B't, y随兀的增大而减小;x = h时,y有最小 值0.a<0向下(h, 0)X二hx>h时,y随兀的增大而减小;x<h时, y随兀的增大而增大;兀=力时,y有最大 值0?4. y = a(x-h)2 +k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(力,k)X二hx>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y 随兀的增大而减小;x = h时,y有最小值a<0向下?,k)X 二h兀>力时,y随x的增大而减小;兀v/?时,y 随兀的增大而增大;x = h时,y有最大值k.三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式y = a{x-h^k,确定其顶点坐标(〃,灯;⑵ 保持抛物线)=似2的形状不变,将其顶点平移到(h, k)处,具体平移方法如下:y=ax^?y=a(x-h)2向右(力>0)【或*(/?<0)] 平移悶个单位向上伙>0)【或下伙V0)】平移冈个单位 勺严曲“卩+公向上伙>0)【或向下伙<0)】平移冈个单位 A y=ax^+k向右(Q0)【或左⑺<0)】 平移问个单位向上伙>0)【或下伙<0)】 平移冏个单位向右⑺>0)【或左(力<0)】平移阳个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“力值正右移,负左移;R值正上移,负下移"? 概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴y = ax2 -{-hx + c沿y轴平移:向上(下)平移加个单位,y = ax2 + /?x 4- cy = ax + bx + c + m (或 y = ax" + bx + c 一 m )⑵y = ax2 -{-bx + c沿轴平移:向左(右)平移加个单位,y = ax2 +y = a(x^m) + b(x + m) + c (或 y = a(x - my + b(x - m) + c )四、二次函数y = a(x-/i\+k与)uo?+加+ c的比较从解析式上看,y = a(x-h)2^k与〉=做2+加+ c是两种不同的表达形式,后者通过配( h4〃广 A* A —方可以得到前者,即yw X + — +竺其屮h = ~, k=^^.V 2a丿 4a 2a 4a五、二次函数y = ax2+bx + c图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数y = ax2 +bx-i-c化为顶点式y = a(x-/?)2 + k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y轴的交点(0,可、以及(0, c)关于对称轴对称的点(2力,c)、 与x轴的交点(x,, 0),(兀2,0)(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下儿点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.六、二次函数y = ax2+bx^c的性质1. 当g>0吋,抛物线开口向上,对称轴为x = -—,顶点坐标为(_2,仏”.la ( 2ci 4a 丿当兀v__L时,〉,随兀的增大而减小;当x>~—时,y随X的增大而增大;当2-2 2a 2a 2a时,y有最小值如二乞.4(72. 当avO时,抛物线开口向下,对称轴为x = -—,顶点坐标为-纟, .当2d I 2g ;XV—L时,),随X的增大而增大;当X>-—W, y随兀的增大而减小;当x = 时,y 2a 2a 2a有最大值皱二兰.4。七、 二次函数解析式的表示方法1. 一般式:y = ax2 +bx + c (a, b , c 为常数,aHO);2. 顶点式:y = a(x -h)2 + k ( a , h , k 为常数,aHO);3. 两根式:y = a(兀一占)(兀一兀2)(gH0,占,兀2是抛物线与兀轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写 成交点式,只有抛物线与兀轴有交点,即戾-4acn0时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、 二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 二次函数y = cu(2+bx + c中,d作为二次项系数,显然心0?(1) 当g>0吋,抛物线开口向上,°的值越大,开口越小,反之°的值越小,开口越 大;(2) 当avO时,抛物线开口向下,d的值越小,开口越小,反之d的值越大,开口越 大.总结起来,Q决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a|的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数。确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.(1) 在G>0的前提下,当b>0时,-2vO,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 2a当b = 0时,-2 = 0,即抛物线的对称轴就是y轴;2a当b<0时,-2>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a(2) 在gvO的前提下,结论刚好与上述相反,即当b>0时,当b = 0时,当时,b2a>
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