高等数学(第一册)(第2版)李乐成等1-3

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第三节数列的极限一.数列极卩艮的定义、收敛数列的性质三.极限存在准则flni业技术学院《高等数学》电子教案一、数列极限的走义引例:设有半径为r的用其内接正〃边形的面积A”遏近圆面积S ?所示,可知An= n r2 sin71 71COS(刘徵的刘(〃 =3, 4, 5, A )当n无限增犬时,An无限逼近S9数学语言描述:\/?〉0,日正整数N,当n>N肘,总有— S < ?机动□录上页下页返回结束i n ro业技术学院《高等数学》电子教案 原版教学 定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作第一早Ixn = f (n)或{兀斤}?兀2称为通项(一般项). 若数列{占}及常数Q有下列关糸:Vf>0,日正数N,当〃>N时,总有1占、。<匕贝5称该数列{暫}的极限为Q,记作lim xn = a 或 T a (m T oo)ns此时也称数列收敛,否则称数列发散 几何解猝:—一 ?—.—? ?—) >a-s <xn <a + e (n>N) 即 xn w Y(q,g) (n>N)ooo? ?a _ ? Xn+i ° xn+2 a + ?* ani业技术学院《高等数学》电子教案例如:123 A n 人2,3,4 ' * + l,X% 二? 1 (W oo) n + 12,寫,*,n,A2 3 4 n 1〃 + (-l)"Txn =n2,4,8, A ,2" ,A发散— 2 —》00 (Z2 —? 00)1,-1,1, A ,(-1)"+1,A? =(—1)"+1趋势不定 ani业技术学院《高等数学》电子教案「厂上 11/ 、、/ -TJ-—■ 、tn /tlJil W 敦 千 01,企 Va< f :例1.己知xn^(-V\n ,证朗数列{占}的极限为1?证:Xn _1Vf>0,因此,取n 〃 + (一1)n——1n欲使| — 1 v f,即1N = [—],贝寸当丸〉N ?"+(-1)" 1ny y 〃 + (—1)" ilim xn = lim 二 1ns ns Tlani业技术学院《高等数学》电子教案原版教1 I—<S只要〃 >2n 6就有例2?己知xn =(〃 + 1)(-1)〃⑺+ 1)2证:Xn~^ ~,证朗 limxn=Q.-0 =n—>oo15 + 1)21< 71 + 1a, n + 1\/?0(0,1),欲使|入一0 <?,只要1取n=[—— 1],则当〃>N时,就有|^-° <6岔 五第—早1-1??, * (-1)"坎 lim xn = lim 亍=0ns ns (兀 + 1)说朗:N与?有关,但不淮一.不一定取最小的N ?ani业技术学院《高等数学》电子教案r 厂上 Hi— / 、、/JtI life 彳丈也可由兀2 — 0 —]5+1)2取 n =[占-1[L \ ? 」A/例3 ?役|q|<l,证朗等此数列,/-g 的极限为0 .证:岔 五第—早n-\lnw,则当n>N时,就有Xn=广1-0G (0,1),欲使\xn -0|<6*,只要⑷"T<?,即]訂P(ji — 1) In q < In ?,亦即!1 .In q因此,取N= 1+ .L ln| q」 广 1—0 <?坎 lim广1 = 0nsinro业技术学院《高等数学》电子教案原 版 孝攵二、收敛数列的性质1.收致数列的极限堆一?岔 五第—早证:用反证法假设 lim xn= a 及 lim = b, JL a <b. ns ns取g =乎,因limxn= a, 存在M?,使当n>Nl肘,nsxn-a\<^,从而嘗 同理,因lim xn =b,坎存在N2,使当“ >N2肘,nsXn _q|v号,从而!ā刀呷 = max{Nl, N2},则当〃 >N时,暫满足的不等式 矛盾.枚假设不真!因此收皴数列的极限必淮一.捌门职业技术学院《高等数学》电子教案原 h反教? OOO?机动口录上页下页返回结束 例4?证朗数列心=(一1)"+1 (〃 = 1,2,A )是发散的.证:用反证法?假设数列{xn}收敛,则有淮一极限°存在? 取? =丄,则存在N,使当n>N时,有Q — ? V < Q + ?? 0a — ? a q + ?2 2但因?交棒取值1与-1 ,而此二数不可能同肘療在长度为1的开区间(CL——.期门职业技术学院《高等数学》电子教案Cl+—)内,因此该数刃发散.页■卜■页 上2 " 2岔 五第一早2.收敛数列一定有尿.证:设lim!=。,取? = 1,贝j 3N.当n> N时,有“Tooxn-a <1,从而有= (g _ a) + a < xn — ci + ci <1+ a取 M = max I 兀1 , x2 ,A , xN ,1+ a则有 xn <M (n = l,2,A ).说朗:此性质反过来不一定成互?机动目录上页下页返回结束由此证朗收欽数列必有界.数列{(—1)"+*虽有界但不收敛.ani业技术学院《高等数学》电子教案3.收敛数列的侏号性.岔 五第—早若 lim xn=a,且 q > 0(V 0),贝归 N w N*,当〃〉N 肘, MToo有旳 >0(< 0).证: 对Q>0,取F =号,则 mN wN+,当时,xn_a < 宁2 a_2( A Y~i ia兀农〉Q -号> 0 a_
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