高二数学培优秘籍10-----圆锥曲线题型总结

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高二数学培优秘籍10-…圆锥曲线题型总结2题型七弦或弦长为定值、最值问题【例1】已知△OF0的面积为2^6 , OF-FQ = m.⑴ 设>/6</7?<4V6,求ZOFQ正切值的取值范围;(2)设以O为中心,尸为焦点的双曲线经过点0 (如图), \OF\^c, w=(—-l)c2 当 |宛|4线的方程.| OF | -1 FO | cos(tt- = m解析:⑴设aofq^oA 1 一 L_?|OF|?|F0|sin0 = 2、E< 2=> tan^ = -^^-, v >/6 < w < 4>/6 , .*? -4 < tan^ < -1.m2 ..2(2)设所求的双曲线方程为冷-話= l(a>0, b>0), 0(壬,h),则甩=(旺 一c, h), S^FQ = ^\OF\-\yi \=2>/6 .??j=±也,又?.丽?页=叽C [2??? OF ?FQ = (c,0)?(X] —c, y,) = (x,-(?)?(? = (—-1 )c2:.X]=.\| OQ |=当且仅当c = 4时,|宛|最小,此时0的坐标是(亦,腐)或所求方程为X2-22=i.412【例2】已知椭圆斗+ ? = 1两焦点分别为斤、F2, P是椭圆 在第一象限弧上一点,并满足两?两=1,过P作倾斜角互补的两条直线p/、分别交椭于力、3两点.(I )求P点坐标;(II )求证直线力〃的斜率为定值;(III)求"AB面积的最大值.解:(I )由题可得斥(0,、行),鬥(0-血), 设冗(心%)(x°>0,几>0)则所=(一兀,血一几),所=(一窃几),???颅?两= x:_(2_”)= l, ???点P(XO, y0)在曲线上,则斗+普=1,???兀=弓? 从而乎-(2-元) = 1,得% 则点P的坐标为(LV2).(II)由题意知,两直线P4 的斜率必存在,设的斜率为乞伙>0),则貯的直线方程为?? y-忑心一\)? y-y/2 = k(x-\)由兀2 2 得(2 + 川)才+2?(、耳一切x + QO—S)2 — 4 = 0,—+ —= 12 4设〃(x沪儿),贝IJ1+兀=2&伙_迈) W-V2) t厅-2宓-22+^同理可得.=k*2 廷k-2)2 + k2则兀QA儿-儿―—所以:的斜率—=巳二也=75为定值.耳一兀,(III)设/〃的直线方程:y = VIr + 〃7?由十y = 41x + m —+厶 1 ?12 4得4x + 2\^2mx + m 一 4 = 0,由4 = (2、/2加)一 16(〃厂 一 4) > 0,得-2近<m<2迈,P到M的距离为〃=曙?1"'-府+8)、妊则訂(4 一討)?3 ?曙 =加一"+8)锂(—^ 当且仅当加= ±2e(- 272,272)取等号 ???三角形面积的最大值为迈?r2【例3】已知椭圆y+ J^2 = 1的左焦点为F,O为坐标原点.(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程;???圆过点O、八???圆心M在直线x = -丄上.设M(-丄,/), 2 232(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于力、〃两点,线段/〃的垂直平分线与*轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.y1绘、解:(I) va2 = 29 b1 = L.\c = L F(—10), /:x = —2.则圆半径厂=(一 g) - (一2)=|由 得J(一》+ 厂=3,解得t = ±血????所求圆的方程为(X + [)2 + (y ± 71)2 = ?.2 4(II)设直线M的方程为y = k(x + l)伙工0),代入y+/ = b 整理得(\ + 2k2)x2 +4k2x + 2k2 -2 = 0. ???直线MB过椭圆的左 焦点F.???方程有两个不等实根.记力(引 y})f B(x29 y2)9 中点N(x°,必),AL2则X, +D二一是用???"的垂直平分线NG的方程为 夕_几=_;( X_X°)?K 令尹=0,得=兀0 +幼0 =—2k22k2+\k2 k22k2 +\~~2k2+\???"0,???-* v丸< 0,???点G横坐标的取值范围为(-刍0)?【例4】已知点4 〃的坐标分别是(0,-1), (0,1),直线AM, 相交于点M,且它们的斜率之积为?(1) 求点M轨迹C的方程;(2) 若过点?>(2,0)的直线/与(1)中的轨迹C交于不同的 两点E、F (E在D、F之间),试求NODE与AODF面积之比的取值范围(O为坐标原点)?解:(1)设点M的坐标为(兀,y), v kAM =-y,???圧?口 = -整理,得吕+八1("0) xx 2 2(2)如图,由题意知直线/的斜率存在,设/的方程为x2x = sy + 2(s^±2)^?^A — + y2 =1,整理,得3+2)b+4s尹+ 2 = 0,由△>(),解得?>2?4s设E(* 必),F(s y2\ 则] 2川厂齐? S 3 °B ?儿 令久=単阻= SAOBF ?2=A~\OB\-\y2\ %y,y2 几 s2 + 2且0 v久< 1 ..??? s2 >2 且 s' h 4e(4,8)Jlw^ —t解得3 — 2血v2v3 + 2血且久工丄?s- +2 3 3???0v 久 vl,??.3 — 2、伍 v/lvl 且兄工一 ?故△ OBE A OBF ? 3积之比的取值范围是(3-2血,寻U【例5】已知椭圆C手+ ?= l(G>b>0)的右顶点为J(hO)t过C]的焦点且垂直长轴的弦长为C:令+ * = l(d>b>o).(|)求椭圆G的方程;(II)设点P在抛物线C2:y = x2+h(heR)±t C?在点P处 的切线与G交于点M, N ?当线段/P的中点与MN的中点的横坐标相等时,求〃的最小值.b = 1解析:(I)由题意得L b2:十,所求的椭圆方b = 1程为— + x: = 1.(II)不妨设M(xlyl)9 Ng y2)9 P(/, / +力),则抛物线C?在点P处的切线斜率为/1.^=2/ .直线MN的方程为y = 2tx-r +h ,将上式代入椭G的方程中,4x2 +(2/x-/2 +/?)2 -4 = 0,即4(1+”疋_4/(”_力).丫+(”_府_4 = 0? 因为直线MV与椭圆G有两个不同的交点,所以有A, =16[一广 + 2(〃 + 2)/2 —胪 + 4] > 0,设线段的中点的横坐标是则x严
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