高频考点训练__恒成立存在性问题

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2016-2017学年度巴东三中高三《恒成立存在性问题》专题讲义知识点梳理1、 恒成立问题的转化:a>/(x)恒成立=> a > /(-v)rrax ; a</(x)恒成立=^>a< f2、 能成立问题的转化:a> f(x)能成立=>a>/(兀)尬和;a</(x)能成立=>a<f (x)max/、 、 ci> f(x)在M上恒成立3、 恰成立问题的转化兀在M上恰成立OQ/(兀的解集为Mo 卄 ―一+亠八丿 八丿 a</(x)在上怛成立另一转化方法:若xe DJ(x)>A在D上恰成立,等价于/(劝在D上的最小值/n,n (x) = A ,若xe D, fM W B在D上恰成立,则等价于在D上的最大值/max (兀)=3.4、设函数/&)、g(x),对任意的旺w [a , b],存在 x2 e [c, J],使得 f(x})> g(x2),则5、设函数/(x)、g(x),对任意的 x} e[a,b] f存在 %2 e [c, d],使得 /(Xj)< g(x2),则max (%) °6、 设函数/(兀)、g(x),对任意的x} e[a,b]f存在x2 e[c,d]9使得/(^)=^(x2),则(兀)在 A*! e [a , b]±.的值域M是g(x)在x2 g [c ,d]±.的值域N的子集。即:McNo7、 设函数 /(x)、g&),存在兀| w [a ,引,存在兀2 w [c, d],使得 /(%,)> g(x2),则 fmax(x)>gmin(x)8、 设函数 /(x)、g(兀),存在 X] W [d ,方],存在 x2 G [c,d]f 使得 /(xj < g(兀 2 ),则 fmin (x)<gmax (x)9、 若不等式/(x)>g(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y = /(兀)和图象在函数 y = g (兀)图象上方;10、 若不等式f(x)<g(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y = f(x)和图象在函数 y = g(兀)图象下方;题型一、常见方法1、已知函数 /(%) = x2 - 2cix4-1, g(x)=—,其中 ? > 0 , % 0 .x(1) 对任意xe [1,2],都有/(X)> g(x)恒成立,求实数。的取值范围;(2) 对任意 [1,2],x2 G [2,4],都有/(")>盘(兀2)恒成立,求实数G的取值范围;【分析:】 ? ~(1) 思路:等价转化为函数/(X)-的>0恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决.(2) 思路:对在不同区间内的两个函数/(兀)和g(R分别求最值,即只需满足>8m^)即可?3 3解:(1)由X2-2ax + \-->0=>a<^^^立,只需满足°⑴二仝~二王的最小值大于。即x 2x2 +1 2/+1 3 4 r 〔可.对处”洁求导’必"誉夺 >。,故如在52]是增函数,2 20min (兀)=0(1)= —?所以°的取值范围是° V G V § ?(2)注意:含参的动轴定区间上的最值求法。2、设函数/?(x) = - + x + &,对任意aG [-,2],都有/2(x)<10在!皝A,1]恒成立,求实数方的取 x 2 4值范围.分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通 过函数求最值解决.方法 1:化归最值,/?(x)<10?//niax(x)<10;方法 2:变量分离,/? < 10 - (― + X)(2 < -.x2 4- (10- b)x :方法3:变更主元,必)=丄?d + x + b -1050, *[丄,2]x 2简解:方法 1:对 h(x) = g(x) -\-x + b = — + x + b 求导,lt(x)=\― =(%~^)$+血), 兀 r r由此可知,”(工)在[丄,1]上的最大值为加;)与/?(1)中的较大者.4 4层)GO4 =><4<7 4-—+/?< 104/?(!)< 10l+a+b<1039bv 兰 _4a 1 7"4 ,对于任意dw[f,2],得b的取值范围是b<-.b<9-a 2 43、 已知两函数/(%) = x2, g(x)= — 一m,对任意 X] g [0,2],存在 x2 e [1,2],使得 f(xt)>g(x2),(2丿则实数m的取值范围为 (1、必 解析:对任意兀工[0,2],存在x2e [1,2],使得f(x})>g(x2)等价于g(x)=- 一加在[1,2]上的12丿 最小值+ -加不大于/(X)= x2在[0,2[上的最小值0,既Am>^-4. 已知/(x) = 2ar-? + lnx在x = l与兀=丄处都取得极值.函数g(%)-x1 -,若对任意x 2的兀]丘[*,2],总存在x2g [^,2],使得、^(^)> /(x2)-lnx2,求实数加的取值范围。解析 *?* /(x) = 2ax-—+Inx,f\x) = 2q + 2 + 丄 t f(x) = 2av- —+ lnx;Sx = l 与兀=丄处都x x" x x 2z 1 (2d + /? + l = 0 1 1取得极值A f\i) = 0 , / (—) = 0, ??? \ 解得:a = b =-一当a = b =-一时,2 2a + 4b + 2 = 0 3 32 1 1 一 2(兀一1)(尤一舟) J3x2f(x) = +- = ,—J ,所以函数/(X)在X = 1与A' = -处都取得极值.3 3% % 3x 21 ? 1 1 7:,a = b = --又函数 y=f (x)-Inx = --x^-—-在上,2]上递减,二 /OO-lzhinhQp-i3 3 3x 2 6又函数g(x) = x2 -2/nx+tn图象的对称轴是兀二血(1) 当加V—时:g(X)niin =&(三)=—,依题意有一——~成立,?:加2 2 4 4 6 21 7(2) 当— On52 时:<g(x)min =g (m)=m - m2, /. m - m2 > ——,即 6m2 - 6m - 7 < 0 ,解得:2 6又???打5 2,3-顷/ ,3+顷 <m< 6 6(3)当 m>2 时:g(x)斷二g(2)=4 — 3〃,??? 4-3m>--,63118又 m>2 , m g (j)综上:m<3+V516所以,实数加的取值范围为(-OO,色回]6题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)1、对于满足制< 2的所有实数p,求使不等式+ + px + 1 > p + 2x恒成立的x的取值范围。解:不等式即(兀_l)p +兀2_2兀+1>0,设/(p) = (x_l)p +兀2_2兀+1,则
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