2020届高三毕业班摸底测试数学答案

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第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集为,集合,,则( C )A. B. C. D.2.若复数满足,则复数为( D )A. B. C. D.3.用数学归纳法证明:,(时,第一步应验证的不等式是(D) () () () ()4.在中,已知,则(C)() () () ()5.在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,( A )A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(D)()180 ()200 ()220 ()2407.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(B) () () () ()8.已知,,是不同的直线,,,是不重合的平面,有下列命题:(A)①若,,则; ②若,,则;③若,,则; ④若,,,则.其中正确命题的个数是() () () ()9.已知,,,则( B)A. B. C. D.10.若函数在处有极大值,则常数为( C )A.2或6 B.2 C.6 D.-2或-611.已知、分别是双曲线的左右焦点,A为双曲线的右顶点,线段的垂直平分线交双曲线于,且,则该双曲线的离心率是(C)() () () ()12.已知函数,对任意,存在,使得,则的最小值为( D )A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.计算 14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,且bsinA=cosB. 角B= 60 ;15.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程是 .16.已知函数,的两个极值点为,且,则实数的取值范围是三、解答题.共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17、(本小题满分12分)某高校在一次自主招生中,对20名已选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试,结果如下表:由于部分数据丢失,只知道从这20名参加测试的学生中,随机抽取一名,抽到语言表达能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率.17.解:(1)由题意得:,,,;(2)设至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率为;从语言表达能力良好的9名学生中任意抽取2名共有36个结果,在这9人中逻辑思维能力都不优秀的有6人,从这6人中任取2名学生共有15个结果;.18.(本小题满分10分)已知数列的第一项,且.(Ⅰ)设,求证:数列是等差数列;(Ⅱ)数列前项的和记为,若,求的取值范围.18.解:(1),,是等差数列. (2),;,,19.(本小题满分12分)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.19.解:(1)证明:在正三角形中,,在中,因为为中点,,所以,因为,所以,所以,所以,所以,又平面,平面,所以平面.(2)建立如图直角坐标系,则,,,,设二面角的平面角为,平面的法向量,,令,则,;,平面的法向量, .20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,,已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且,求的值..解:(1)由,得,再由,得,由题意可知,,即.解方程组得,,所以椭圆的方程为.(2)由(1)可知.设点的坐标为,直线的斜率为,则直线的方程为,于是,两点的坐标满足方程组,由方程组消去整理,得,由,得,从而.设线段的中点为,则的坐标为.以下分两种情况:(1)当时,点的坐标为.线段的垂直平分线为轴,于是,,由,得.(2)当时,线段的垂直平分线方程为.令,解得.由,,.整理得,故,所以.综上或.21.(本小题满分12分)已知函数,,其中.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求的单调区间;(Ⅲ)若存在,使得不等式成立,求的取值范围.解:(1)当时,,,,又,∴曲线在点处的切线方程为;(2)=.当时,恒成立,函数在上为增函数;当时,当,时,,函数为增函数;当时,,函数为减函数;当时,当,时,函数f(x)为增函数;当时,,函数为减函数;(3)等价于,即,分离参数得,令,若存在,使不等式成立,即.当时,,为增函数;当时,,为减函数.而,.∴h(x)在上的最小值为,∴.22.选修4-4:坐标系与参数方程直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.(1)求圆的直角坐标方程;(2)设圆与直线交于点,,若点的坐标为,求的最小值.22.【解】(1)由,得,化为直角坐标方程为,即.(2)将的参数方程带入圆的直角坐标方程,得,因为,可设,是上述方程的两根,所以,,又因为为直线所过定点,∴.所以的最小值为.第9页,共8页
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