【东南大学考研数学基础班】高等数学全程课件 第一轮复习用导数与微分

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导数概念平面曲线的切线的斜率: 设有曲线L : y ? f (x) ,在L上 取定一点P , 另取一动点Q ,作割线 PQ 。当动点Q 沿曲线 y 切线 割线 L趋向于 定点P 时, T Q L 割线 PQ 的极限位 y ? f (x) P 置 PT 就称为曲线 L在点P 处的切线。 o x 切线 割线 y T定点 P(x? , y? ) , Q y ? f (x)动点 ?? ?? , Q(x? x, y? y) ?y P则割线 PQ 的斜率为 ?x ?y f (x ??x)? f (x )tg?? ? ? ? ? ? ?x ?x o x? x? ??x x当点Q ?点P 时,若割线 PQ 有极限位置 PT ,这时 ?x?0 , ???, ?y f (x ??x)? f (x ) k ?tan?? lim tan?? lim ? lim ? ? . ?x?0 ?x?0 ?x ?x?0 ?x (Q?P) 注意 若上述极限不存在,但为无穷大,此时割线PQ 以垂直于 x 轴 的直线为极限位置,即曲线 L 在 P 轴点处具有垂直于 x 的切线 x? x? ,这时也称曲线 L在 P 点处的切线斜率为无穷大。导数的定义:1.函数 在点 的导数 f (x) x? 定义 1 设 在 内有定义, , y ? f (x) N(x? ) x? ? ?x ? N(x? ) 如果极限 ?y f (x ? ?x) ? f (x ) lim ? lim ? ? ① ?x?0 ?x ?x?0 ?x 存在,则称 在 点可导,并称此极限值为 f (x) x? f (x) 在 点的导数,记作 x? ? dy f ?(x ) ,或 y x?x , 或 ? ,即 ? ? dx x x? ?y f (x? ??x)? f (x? ) f ?(x? ) ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x f (x)? f (x ) ? lim ? x?x? x?x? 在点 若极限①不存在,则称函数 f (x) x? 处不可导。 注意:导数定义中极限变量的符号 ?x, x 可以用任意别的字母符号来代替,例如: f (x ?h)? f (x ) f (t)? f (x ) ? ? ? 。 f ?(x? ) ? lim ? lim h?0 h t?x? t?x? ?y定义 2 若极限 lim 存在,则称此极限为 f ( x ) ? ?x?0 ?x 点 处 在 x? 的左导数,记为 f?? (x? ) ,即 ?y f (x? ??x)? f (x? ) f?? (x ) ? lim ? lim ? ? ? ?x?0 ?x ?x?0 ?x f (x)? f (x ) ? lim ? ; ? x?x x?x? ? ?y 若极限 lim 存在,则称此极限为 f ( x ) 在 ? ?x?0 ?x点 处 x? 的右导数,记为 f?? (x? ) ,即 ?y f (x? ??x)? f (x? ) f?? (x ) ? lim ? lim ? ? ? ?x?0 ?x ?x?0 ?x f (x)? f (x ) ? lim ? . ? x?x x?x? ? f ?(x? )? A? f?? (x? )? f?? (x? )? A2.函数 f (x)的导函数 如果函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点都可导,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内可导。 如果函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内可导,且在 a 点 存在右导数,在b 点存在左导数,则称 f (x) 在闭区间[a, b]上可导。定义 3 若 f (x) 在区间 I (开或闭,有限或无限)上可导,则对?x ? I ,都唯一确定一个导数值 f ?(x) ,因而 f ?(x) 是定义在 I 上的 一个函数,称它为 f (x) dy在 I 上的 导函数。记为 f ?(x) (或 y?或 ),即 dx f (x??x)? f (x) f (t)? f (x) f ?(x)? lim ? lim ?x?0 ?x t?x t ? x 就是导函数 在点 的函数值。 f ?(x? ) f ?(x) x ? x? 基本初等函数的求导公 式 : ? ?c ? ? 0 ? ?x ? ? ? ? x ? ?1 ? ? ?a x ? ? a x ln a , ?e x ? ? e x ? 1 ? ? 1 ? 1 ?log a x? , ?ln x ? ? , ?ln x ? ? x ln a x x ? ? ?sin x? ? cos x, ?cos x? ? ? sin x ? sin x x ? 0例 . 设 f ?x? ? ? , 求 f ??0? . ? ln(1 ? x) x ? 0 ?y f ?0 ? ?x? ? f ?0?解: ? ?x ?x ? sin ?x ?x ? 0 ? ? ? ? x ln(1 ? ?x) ? ?x ? 0 ? ?x ?y sin ?x? ? ? lim ? lim ? 1, ?x? 0 ?x ?x? 0 ?x ? ? y ?y ln(1 ? ?x) f (0) ? lim ? 1 lim ? lim ? 1, ?x? 0 ?x ?x? 0 ? ?x ?x? 0 ? ?x ? 1 ?x 2 sin , x ? 0例 . 设 f ?x? ? ? x , 求 f ??0?. ??0 , x ? 0 1 x 2 sin f ?0? x?? f ?0? x 1 解: f ??0?? lim ? lim ? lim x sin ? x?0 x x?0 x x?0 x 0.例. 证明:函数 f ? x ? ? x 在 x ? 0 处连续, 但在 x ? 0 处不可导. 证明:lim f (x) ? limx ? 0 ? f (0) f ? x ? 在 x ? 0 连续. x?0 x?0 ? ? ? ?x ?0 ? ?x f ?0 x? f ?0? ? lim ? ?1, f???0? ? lim ? lim ? ?x?0? ?x ?x?0? ?x ?x?0 ?x f ?0 ? ?x??
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