第04讲-§2.2 极限的性质与运算法则-2011

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§2.2 极限的性质与运算法则一、性质 性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在,则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。 性质2(局部有界性) 若极限 lim f (x)存在,则?? ? 0, x?x0 0使f (x)在U? (x0 )内有界。 注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范围确定。 2、此处只说有一个空心邻域,至于空心邻域有多大由具体函数确定。 首页 上页 返回 下页 结束 铃 性质3(局部:判) 若 lim f (x) ? A ? 0,则?? ? 0, x?x0 0使?x ? U? (x0 ),f (x) ? 0。 0 性质4 已知 lim f (x) ? A,若?? ? 0,使?x ? U? (x0 ), x?x0 f (x) ? 0,则A ? 0。 注 若已知中是f (x) ? 0,结果仍是A ? 0。 性质5 已知 lim f (x) ? A,lim g(x) ? B,若?? ? 0,使 x?x0 x?x0 0 ?x ? U? (x0 ),f (x) ? g(x),则A ? B。 首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、四则运算法则 定理 已知lim f (x)、lim g(x)存在,则 ?1?lim? f (x) ? g(x)? ? lim f (x) ? lim g(x); ?2?lim? f (x)g(x)? ? lim f (x) ? lim g(x); ?3?lim? f (x)?n ? ?lim f (x)?n,n ? N;?4?若lim g(x) ? 0,则lim? f (x) g(x)? ? lim f (x) lim g(x); ?5?lim f (x) ? 0,则lim? f (x)??n ? ?lim f (x)??n,n ? N; 推论 ?1?lim f1 (x)、lim f 2 (x)、?、lim f n (x)存在,则lim? f1 (x) ? f 2 (x) ??? f n (x)? ? lim f1 (x) ? lim f 2 (x) ? lim f n (x);?2?lim f (x)存在,则lim?Cf (x)? ? C lim f (x);?3?lim? f (x)?? ? ?lim f (x)?? ,? ? R; 首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理 如果lim f与lim g存在,则有 lim(f?g)?lim f?lim g 。 证明:设limf?A,limg?B,则对于任意给定的? ?0,总有那么一个时刻, 在此时刻以后,恒有 1 1 | f ?A|< ? ,|g ?B|< ? 。 2 2 因此,在上述时刻以后,恒有 1 1 |(f?g)?(A?B)| ?|f?A|+|g?B| ? ? + ? ? ? 。 2 2这就证明了lim(f?g)?A?B ,即lim(f?g)?lim f?lim g。 首页 上页 返回 下页 结束 铃 注 1、应用时必须注意条件,如极限存在、分母不为零、偶次根号下非负等; 2、定理中C、n、α都是与自变量无关的常量。 首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果lim f与lim g存在,则 lim(f?g)?lim f?lim g ; lim fg?lim f?lim g 例 例11 . 求 lim (3x2?2x+1)。 x?1 解: lim (3x2?2x+1) ? lim 3x2? lim 2x+ lim 1 x?1 x?1 x?1 x?1 ?3 lim x2?2 lim x+1?3( lim x)2?2+1?3?12?2?1+1?2。 x?1 x?1 x?1 ?2。 首页 上页 返回 下页 结束 铃讨论:多项式的极限 lim P(x)?? x?x0结提论示: lim P(x)?P(x0)。 x?x0 求极限 n n?1 。 例2 lim?a0 x + a1 x +?+ an ? x?x0 n n?1 答案 a0 x0 + a1 x0 +?+ an 。 首页 上页 返回 下页 结束 铃 f lim f A如果lim f与lim g存在且lim g ?0,则 l i m ? ? (B?0)。 g lim g B 2x 2 + x ? 5 例例22. 求 lim 。 x?2 3x + 1 2 2 2 + ? 2x2 + x ? 5 lliimm((22xx + xx? 55)) 5 解: 2x + x ? 5 xx??22 55 解解:: lliimm ?? ?? 。。。 xx??22 33xx++11 lliimm((33xx++11)) 777 xx??22 5x 例例33. 求 lim 。 x?2 x 2 ? 4 2 22 2 22 lillmiimm(x((xx ???44)4)) 解: xxx ???444 x?2 000 解解解:::因因因为为为lillmiimm ???x?x?2 2 ??? ???000。。。 x?xx??2 22 555xxx lillmiimm555xxx 110100 x?xx??2 22 5x 所以 lim ??。 x?2 x 2 ? 4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果lim f与lim g存在且lim g ?0,则 。 f lim f A lim ? ? (B?0)。 g lim g B x ? 3 例例47. 求 lim 。 x?3 x 2 ? 9 x ? 3 x ? 3 1 1 解解解::: lim ? lim ? lim ? 。 x?3 x 2 ? 9 x?3 (x ? 3)(x + 3) x?3 x + 3 6x ? 3 x ? 3 1 1 解: lim ? lim ? lim ? 。 x?3 x 2 ? 9 x?3 (x ? 3)(x + 3) x?3 x + 3 6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 P(x)讨 论 : 如何求有理函数的极限 lim ? x?x0 Q(x) P(x) P(x0 )提 示 : 当 Q(x0)?0 时, lim ? 。 x?x 0 Q(x) Q(x0 ) P(x) 当 Q(x0)?0,P(x0)?0 时, lim ? ? 。 x?x0 Q(x) 当Q(x0)?P(x0)?0时,分子分母约去(x?x0)。 首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果lim f与lim g存在且lim g ?0,则 。 f lim f A lim ? ? (B?0)。 g lim g B x ? 2 例例58. 求 lim 。 x?4 x ? 4 x ? 2 ( x ? 2)( x + 2) 解解:: lim ? lim x?4 x ? 4 x?4 (x ? 4)( x + 2) 1 1 ? lim ? 。 x?4 x + 2 4首页 上页 返回 下页 结束 铃 2n 2 ? 2n + 3 例例64. 求 lim 。 n?? 3n 2 + 1 解:将分子分母同除以n 2,得 22 33 22 ?? ++ 222nnn222 ??? 222nnn +++333 nn 22 22 llliiimmm ??? llliiimmm nn
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