《植树问题》专题研究

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'《植树问题》专题研究'
《植树问题》专题研究在小学数学应用题中,有这么一类问题:以植树为内容,研究植树的棵树,棵与棵之间的距离,和需要植树的总长度等数量间关系的问题,称为植树问题。它也属于典型应用题之一,有它独特的解答方法。为使其更直观,我们用图示法来说明。树用点来表示,植树的沿线用线来表示,这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。与此同类的问题还有锯木头、爬楼梯、敲钟等。同样可以用植树问题的解法来解。1、 线状路径的植树问题: 在线状路径上等距离植树,是把总距离按株距的长短平均分,有这样的多少段(叫做段数),就可以确定值多少棵树。一般来说,涉及总距离,株距,段数和植树的棵树等量。在线状路径上等距离植树可以分为一下几种情况:①在直线或两端不封闭的的曲线上植树,两端都植树。数量关系式是: 棵树=总长÷棵距+1; 即:棵数=段数+1.例1:在一条长80米的小路旁种松树,每隔16米种一棵,两端都种,共可以种树多少棵?分析:这是在一段不封闭的直线上种树,首先应当先求出80米中包含了多少个16米,再根据“两端都种”,(即首尾都种)求出“共可以种树多少棵?”解:①80米中包含了多少段? 80÷16=5(段) ②共可以种树多少棵? 5+1=6(棵) 答:共可以种树6棵. 例2: 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离.分析: 这是在一段不封闭的直线上电杆间隔问题,如同植树问题。首先应先求出公路全长为40×(121-1),再根据其数量关系:根数=总长÷根距+1,变换为:根距=全长÷(根数-1),然后就可以求出两根相邻水泥杆之间的距离。 解 ①公路的全长为多少米? 40×(121-1)=4800 ②两根相邻水泥杆之间的距离是多少米? 4800÷(51-1)=96 答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米。练习:1、从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路,在小路的两侧,从头到尾每隔15米栽1棵树,需要多少棵数?2、 甲村到乙村,原计划栽树175棵,相邻两棵树距离8米,后决定改为栽树117棵,问相邻两树应相距多少米?②在直线或两端不封闭的的曲线上植树,两端都不植树。数量关系式是:棵树=总长÷棵距-1; 即:段数-1例3:在相隔50米的两座楼房之间种桃树,每隔5米种一棵,共可以种树多少棵?分析:这是在一段不封闭的直线上种树,两端因为有楼,所以都不种。这样,共种树的棵树,应当比段数少1。即在直线或两端不封闭的的曲线上植树,两端都不植树。 解:①50米中包含了多少段? 50÷5=10(段) ②共可以种树多少棵? 10-1=9(棵) 答:共可以种树9棵. 例4:下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少?十个这样的铁环连在一起有多长? 分析:如上图所示。此题类似于两端都不植树的问题,关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据其数量关系知,五个连在一起的“环扣”数为5-1=4(个),然后求出重叠部分的长,接着就可以求出五个铁环连在一起的长。同理,十个铁环连在一起的长度。 解:①五个连在一起的“环扣”数是多少? 5-1=4(个) ②重叠部分的长为多少? 6×(5-1)=24(毫米) ③五个铁环连在一起的长是多少? 4厘米=40毫米 40×5-24=176(毫米) ④十个铁环连在一起的长度是多少? 40×10-24=346(毫米)答:五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。练习:3、有12名小学生站成一排,要求在每两名小学生中间放2盆花,需要摆放几盆?4、 一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后两车相隔5米,问这列车队共长多少米?③在封闭线路上植树。数量关系式是:棵树=总长÷棵距。 即:棵树=段数例5:人民公园环湖路长6900米,沿湖边每隔15米种一棵树,每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。求共要种树多少棵?安放椅子多少条?分析:这是在封闭曲线上植树可直接用公式:“棵树=总长÷棵距”求解。而“每3棵树之间安放一条长椅”,正好是每隔一段棵距放一条椅子,椅子数正好是棵树的一半。解:①共要种树多少棵? 6900÷15=460(棵) ②安放椅子多少条? 460÷2=230(条)答:共要种树460棵,安放椅子230条。 例6: 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵?分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,首先可以求出四周共可以种多少棵柳树,再求出相邻柳树间,每隔3米种杨树,每段可种杨树的棵树。最后可求出共种的杨树棵树。 解:①四周可种多少棵柳树? 2430÷9=270(棵) ②相邻柳树间,每隔3米种杨树,每段可种杨树多少棵? 9÷3-1=2(棵) ③总共可种杨树多少棵? 2×270=540(棵) 答:水库四周要种杨树540棵. 练习:5、公园的一个湖的周长是1800米,在这个湖的周围每隔20米种一棵柳树.然后在每两棵柳树之间每隔4米种一棵迎春花,需要柳树多少棵、迎春花多少棵? 6、明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少? ④在方正形路上植树:如果每个顶点都要植树,数量关系式是:棵数=(每边棵数-1)×边数,由此可以推出在此种路径下等距离植树的数量关系为:棵树=边长÷棵距+1。 例7:一个正方形鱼塘的周长是1200米,在4个角上都种上树后,每条边上都有16棵树,求每棵树之间相距多少米?分析:沿正方形的四周种树,看似在封闭线路上植树。但由于四个角上都种上了树,,是每边都种了16棵树,实际上是等同于在不封闭直线上种树,每边实际分成了(16-1)段。这样就可以用“边长÷(16-1)”求出棵距。当然,也可以用:“周长÷(16×4-4)” 求出棵距。解1: 1200÷4÷(16-1)=20(米)解2: 1200÷(16×4-4)=20(米) 答:每棵树之间相距20米。练习
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