自主招生试题中常用的四种恒等变形

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'自主招生试题中常用的四种恒等变形'
自主招生试题中常用的四种恒等变形——兼论恒等变形在中学数学学习中的基础地位东阳市顺风高级中学 蒋元虎浙 江 省 东阳中学 吴国建(322100)数学是运算的科学,而运算的核心是恒等变形.从某种意义上讲,数学问题的解决其本质就是通过恒等变形进行化简直至结论的过程.与高考相比,自主招生考试在数学思维与能力上提出了更高的要求,这种要求体现在运算上,首先知识面要求更宽,除常规的因式分解、配方换元、待定系数等,还要求考生掌握对称变换、裂项相消等变形方式;其次恒等变形的难度进一步加大,方法与技巧的要求更高,如三次方程的韦达定理,结合表达式的对称性进行均值换元、通过裂项相消进行恒等变形不等放缩等.本文拟结合近年名校自主招生试题,阐述较高要求的四种恒等变形方法与技巧,进而体现恒等变形在中学数学学习中的基础性地位.一、基于函数方程的恒等变形 自主招生中的函数方程问题,主要功能涉及一元二次、三次方程,这类问题的求解离不开恒等变形,主要包括因式分解、判别式与韦达定理、求根公式,以及一些常见的恒等变换技巧.例1.(2007年北京大学自主招生试题)解方程组解:由原方程组得则得:解得或,代入可得或()注:本题中的常数可以自由凑配,但要确保每个方程含未知元部分恰好成为两个一次因式的积,再通过观察三个方程,进行消元变换即可.例2.(2008年上海交通大学自主招生试题)已知函数,且没有实数根,试判断是否有实数根?并证明你的结论.解:没有.无实数根,考察,即于是有或故均不存在实数根,从而不存在实数根.注:本题着重于考查学生的连续化简能力.由于的根一定是的根,再考虑到本题的结论,可以得出:若,则有根的充要条件是有要根,当然,的根未必都是的根,因此.二、基于待定系数的恒等变形自主招生试题往往难度较大,运算要求高.待定系数法作为一种常用的恒等变形方法,常适用于因式分解比较困难的多项式,表面上看似增加了许多未知数,但运算往往会比较巧妙,多给人以“柳暗花明又一村”之感.例3.(2006年上海交通大学自主招生试题)若有函数,其中为关于的多项式,为关于的多项式,则称为P类函数.判断下列函数是否是P类函数,并说明理由:(1);(2).解:(1),其中,故是P类函数.(2)不是P类函数.理由如下:若是P类函数,那么,的最高次数不应该超过2次,否则与乘积中次数高于2次的对应项系数之和为零,从而得知:的对应项系数成比例(或者是的对应项系数成比例).这样,,而这是不可能的,故可知,的次数均不超过2次.设,展开后,由对应项的系数相等可得:所以与对应成比例,这样就有于是有.因为当时,或,这和相矛盾,从而不是P类函数.注:在对是否为P类函数的判断中,两次采用了反证法.但在每一次反证法的运用中,待定系数、恒等变形是主要的过程.例4.(2010年清华大大学等五校联考试题) 设是三次多项式的一个根,且,若是一个有理系数的二次多项式,满足条件,求.解:设,则由得:,整理得:因为有理系数多项式因为,所以不是的因式(证明略)而同时是=0和的根,所以恒等于0,故,解得,即.注:原题求,为选择题.没有有理根,可用反证法证明:若有理数(不可约)是该方程的根,则,由于不可约,.于是这个方程的有理根必定是整数根,,而都不可能是这个方程的根,于是矛盾就产生了.该方程没有有理根,于是是它的三个非有理根,且可能有复根),若有理系数的二次多项式是它的一个因式,则它们相除的商就是一个有理系数的一项式,与这个方程有有理根相矛盾了,因此任何有理系数的二次三项式都不会是的因式.三、基于裂项相消的恒等变形 基于裂项相消的恒等变形(或变形后放缩、或放缩后变形)是一种基本的数学素养,是高中数学的基本功,特别是在数列的通项与求和中应用十分广泛,高校自主招生也十分关注这一基本的恒等变形方式,在自主招生试题中出现了许多运用裂项相消变形的问题.追溯运用裂项相消的思维源泉,应当是一道简单的求值问题:=?.运用裂项相消实现恒等变形的关键在于能否将数列通项等价变换为或的形式,这种等价变换有时也可运用待定系数法实现.例5.(2004年复旦大学自主招生)求证:解:试用裂项相消法解这道题,即希望有的形式(对的自然数),注意到当有,于是,从而(达到预期目的),则不等式左边=3-注:巧妙运用放缩法达到裂项相消的效果,从而将含项的式子的运算变成有限项的运算,整个运算过程充分体现了“恒等变形、不等放缩”.例6.(2010年清华大学等五校联考试题)设是一元二次方程的两个根,其中,令,,,证明:解:由得,即.由根与系数关系,得,所以,所以,所以,,所以,由数学归纳法得,所以==[]=[=由于,故,所以注:由递推关系求通项公式没有其他好办法,在求的过程中,运用了“裂项求和法”,它是问题获解的关键.四、基于对称换元的恒等变形对称性是图像或表达式作一定的变换后而保持不变的一种性质.如果我们在解题中能发现并充分运用这种性质,能提供解题思路并简化整个运算.特别是在恒等变形过程中,可以充分运用对称性进行假设,实行对称变换.例7.(2009年清华大学自主招生)已知,且,证明:证明:设(或),其中,于是 注:这种对称变换又称均值代换,可以达到减少变量的目的,在多元不等式证明中运用效果尤其明显.例8.(2008年北京大学自主招生)已知,若,求证:解:注意到在问题中的对称性,不妨令,于是转化为,证明目标转化为.下面用分析法证明:令,于是.当时(若,命题显然成立,下面只考虑的情况),则只要证明.将变为,再把的表达式化简,得(若=0,则显然可证,略),于是只要证.因为,,即只要,由前面的假设知这是显然成立的,于是要证的命题成立.注:求解本题时充分利用了问题中字母的对称性,先对问题附加假设条件,以添加结论的形式得以化简(完成了将抽象的数学符号配套化的过程),接着再进一步利用增量代换的思想,用分析法证得结论,每一步的证明过程也是一个恒等变形的过程.练习:1已知为非负数,,求M的最值.2.已知,求数列前100项之和.3.的三根分别为,并且为不全为零的有理数,求.4.,证明:(1)的充要条件是;(2)若,则式成立的充要条件是.解答:1.设,代入得,而,故2.=,故3.由题意可设,则,从而由得或若,则.当时,与条件不符,故,所以,;若,则有,消去得,即,也就是,由于是有理数,故无有理根,所以,从而.综上,或.4.(1)由得到是显然的,反之由代入式可得,于是又有,因此的充要条件是.(2)充分性是显然的,下面证必要性:①当时,由(1)结论知,即必要性成立;②当时有,设,由式得,,这与以及相矛盾,于是不能成立.③与②一样可以证明也不能成立.综合①②③可知,必要性成立.
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