第三章 平稳时间序列分析

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'第三章 平稳时间序列分析'
第三章 平稳时间序列分析本章结构n 方法性工具 n ARMA模型 n 平稳序列建模n 序列预测 3.1 方法性工具 n 差分运算n 延迟算子n 线性差分方程差分运算n 一阶差分 ?xt ? xt ? xt?1n p 阶差分 p p?1 p?1 ? xt ? ? xt ? ? xt?1n k 步差分 ? k ? xt ? xt?k延迟算子n 延迟算子类似于一个时间指针,当前序 列值乘以一个延迟算子,就相当于把当 前序列值的时间向过去拨了一个时刻 n 记B为延迟算子,有 p xt? p ? B xt ,?p ?1延迟算子的性质n B0 ? 1 ? ? ? ? ? 为任意常数n B(c xt ) c B(xt ) c xt?1,c ? ? ?n B(xt yt ) xt?1 yt?1n n B xt ? xt?n n n! (1? B) n ? (?1) n C i B i 其中 C i ?n ? n , n i?0 i!(n ? i)!用延迟算子表示差分运算 n p 阶差分 p p p p i ? xt ? (1? B) xt ? ?(?1) C p xt?i i?0 n k 步差分 k ? k ? xt ? xt?k ? (1? B )xt线性差分方程 n 线性差分方程 zt ? a1 zt?1 ? a2 zt?2 ? ? ? a p zt? p ? h(t)n 齐次线性差分方程 zt ? a1 zt?1 ? a2 zt?2 ?? ? a p zt? p ? 0齐次线性差分方程的解n 特征方程 p p?1 p?2 ? ? a1? ? a2? ??? a p ? 0n 特征方程的根称为特征根,记作 ?1 ,?2 ,?,? pn 齐次线性差分方程的通解 n 不相等实数根场合 t t t zt ? c1?1 ? c2?2 ??? c p ? p n 有相等实根场合 d ?1 t t t zt ? (c1 ? c2t ??? cd t )?1 ? cd ?1?d ?1 ??? c p ? p n 复根场合 t it? ?it? t t zt ? r (c1e ? c2e ) ? c3?3 ??? c p?p非齐次线性差分方程的解 n 非齐次线性差分方程的特解 n 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解 zt?? zt?? ? a1 zt???1 ? a2 zt???2 ? ? ? a p zt??? p ? h(t)n 非齐次线性差分方程的通解 n 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的 特解之和 zt zt ? zt? ? zt??3.2 ARMA模型的性质 n AR模型(Auto Regression Model) n MA模型(Moving Average Model) n ARMA模型(Auto Regression Moving Average model) AR模型的定义n 具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模 型,简记为 AR( p) ?xt ? ?0 ? ?1 xt?1 ? ?2 xt?2 ??? ? p xt? p ? ? t ? ?? p ? 0 ? 2 ?E(? t ) ? 0,Var(? t ) ? ? ? , E(? t? s ) ? 0, s ? t ? ?Exs? t ? 0,?s ? tn 特别当? 0 ? 0 时,称为中心化 A R ( p ) 模型 AR(P)序列中心化变换n 称 { yt }为 {x t }的中心化序列 ,令 ? ? ? 0 1??1 ???? p yt ? xt ? ?自回归系数多项式 n 引进延迟算子,中心化 A R ( p )模型又可 以简记为 ?(B)xt ? ? t n 自回归系数多项式 2 p ?(B) ? 1??1B ??2 B ???? p BAR模型平稳性判别 n 判别原因 n AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一, 但并非所有的AR模型都是平稳的 n 判别方法 n 单位根判别法 n 平稳域判别法例3.1:考察如下四个模型的平稳性 (1)xt ? 0.8xt?1 ?? t (2)xt ? ?1.1xt?1 ?? t (3)xt ? xt?1 ? 0.5xt?2 ? ?t (4)xt ? xt?1 ? 0.5xt?1 ? ? t例3.1平稳序列时序图(1)xt ? 0.8xt?1 ? ?t (3)xt ? xt?1 ? 0.5xt?2 ? ?t例3.1非平稳序列时序图 ? ? ? ? (2)xt ? ?1.1xt?1 ? ?t (4)xt xt?1 0.5xt?1 tAR模型平稳性判别方法n 特征根判别 n AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内 n 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质, 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都 在单位圆外n 平稳域判别 n 平稳域 {?1,?2 ,?,? p 单位根都在单位圆内}AR(1)模型平稳条件n 特征根 ? ? ?n 平稳域 ?〈1AR(2)模型平稳条件n 特征根 n 平稳域 ? ? ? 2 ? 4?? ? 1 1 2 1 2 ? ? ? 2 ? 4?? ? 1 1 2 2 2 {?1 ,? 2 ? 2 ? 1,且? 2 ? ?1 ? 1} 例3.1平稳性判别 模 结 特征根判别 平稳域判别 型 论 平稳 (1) ?1 ? 0.8 ? ? 0.8 ? ? ? 非 (2) ?1 ? ?1.1 1.1 平稳 1? i 1? i ?1 ? ? ? 平稳 (3) 2 ?2 ? 0.5,?2 ??1 ? 0.5,?2 ??1 ? ?1.5 2 2 非 1? 3 1? 3 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?(4) ? ? 2 0.5, 2 1 1.5, 2 1 0.5 ?1 ? 2 平稳 2 2平稳AR模型的统计性质n 均值n 方差n 协方差n 自相关系数n 偏自相关系数均值 n 如果AR(p)模型满足平稳性条件,则有 Ext ? E(?0 ??1xt?1 ???? p xt? p ? ? t )n 根据平稳序列均值为常数,且 { ? t }为白噪声序列, 有 Ext ? ?, E(? t ) ? 0 ,?t ?Tn 推导出 ? ? ? 0 1??1 ???? pGreen函数定义 n AR模型的传递形式 p p ? ? t ki j xt ? ? ? ? t ? ?? ki (?i B) ? t ?(B) i?1 1? ?i B i?1 j?0 ? p ? j ? ?? ki?i ? t? j ??G j? t? j j?0 i?1 j?0
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