轴对称知识点整理总结

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'轴对称知识点整理总结'
§13.1 轴对称(一) 一、轴对称:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴. 二、两个图形成轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.下列各图,你能找出它们的对称轴吗? (1) (2) (3) (4) (5)§13.1 轴对称(二) 一、线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做线段的垂直平分线. 二、图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 三、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上. [探究1]线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,… 证明. 证法一:利用判定两个三角形全等. 如下图,在△APC和△BPC中, △APC≌△BPC PA=PB. 证法二:利用轴对称性质.由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.[探究2]1.作线段AB,取其中点P,过P作L,在L上取点P1、P2,连结AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能.2.讨论:要使L与AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件? 探究过程: 1.如上图甲,若AP1≠BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L与AB不垂直. 2.如上图乙,若AP1=BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L与AB重合.当AP2=BP2时,亦然.§12.2作轴对称图形一.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形.【探究】四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.(归纳:与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律;)【引申】分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?若△PQR中P(x,y)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P (x,y) ,则,y= y.若△PQR中P(x,y)关于y=-1(记为n)轴对称的点的坐标P (x,y) ,则x= x,=n.13.3. 1等腰三角形等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.思考: 1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴. 2.等腰三角形的两底角有什么关系? 3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? 4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢? 结论:等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高. 由此可以得到等腰三角形的性质: 1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).例题与练习  1.如图2  其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]  2.①如图3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,则∠C______(根据什么?). 、谌缤4,已知△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根据什么?). 、廴粢阎螦=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判断图5中等腰三角形有______. 、苋粢阎 AD=4cm,则BC______cm.  3.以问题形式引出推论l______.  4.以问题形式引出推论2______.13.3.2等边三角形等边三角形定义:在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。等边三角形的性质:1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形每一个角相等,都等于60° 等边三角形的判断方法:3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半练习巩固 1.判断下列命题,对的打“√”,错的打“×”。 a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合( ) b.有一个角是60°的等腰三角形,其它两个内角也为60°( )2.如图(2),在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。 例题与练习1.△ABC是等边三角形,以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗,为什么? ①在边AB、AC上分别截取AD=AE. ②作∠ADE=60°,D、E分别在边AB、AC上.③过边AB上D点作DE∥BC,交边AC于E点.2. 已知:如右图,P、Q是△ABC的边BC上的两点,,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC的大。3. 已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC4、如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
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