高中函数定义域,值域,解析式求法大全

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抽象函数定义域的类型及求法函数概念及其定义域函数的概念:设是非空数集,如果按某个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为集合到集合的函数,记作:。其中叫自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的的值叫做函数值.复合函数的定义一般地:若,又,且值域与定义域的交集不空,则函数叫的复合函数,其中叫外层函数,叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: ; 复合函数即把里面的换成,问:函数和函数所表示的定义域是否相同?为什么?(不相同;原因:定义域是求的取值范围,这里和所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了。一、已知的定义域,求的定义域其解法是:若的定义域为,则在中,,从中解得的取值范围即为的定义域.例1 已知函数的定义域为,求的定义域.分析:该函数是由和构成的复合函数,其中是自变量,是中间变量,由于与是同一个函数,因此这里是已知,即,求的取值范围.解:的定义域为,.故函数的定义域为.练习1.已知的定义域为,求函数的定义域;练习2.已知的定义域为,求定义域。二、已知的定义域,求的定义域其解法是:若的定义域为,则由确定的的范围即为的定义域.例1.已知函数的定义域为,求函数的定义域.分析:令,则,由于与是同一函数,因此的取值范围即为的定义域.解:由,得.令,则,.故的定义域为.练习1若函数的定义域为,求函数的定义域例2.已知的定义域为,求的定义域。解 由的定义域为得,故即得定义域为,从而得到,所以故得函数的定义域为三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.例1. 若的定义域为,求的定义域.  解:由的定义域为,则必有解得.所以函数的定义域为例2已知函数定义域为是,且,求函数的定义域 解: ,,又 要使函数的定义域为非空集合,必须且只需,即,这时函数的定义域为总结解题模板1.已知的定义域,求复合函数的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若的定义域为,求出中的解的范围,即为的定义域。2.已知复合函数的定义域,求的定义域方法是:若的定义域为,则由确定的范围即为的定义域。3.已知复合函数的定义域,求的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由定义域求得的定义域,再由的定义域求得的定义域。4.已知的定义域,求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集: 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。例1 设是一次函数,且,求解:设 ,则 二、 配凑法:已知复合函数的表达式,求的解析式,的表达式容易配成的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域,而是的值域。 例2 已知 ,求 的解析式解:, 三、换元法:已知复合函数的表达式时,还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。例3 已知,求解:令,则, 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。例4已知:函数的图象关于点对称,求的解析式解:设为上任一点,且为关于点的对称点 则,解得: ,点在上 把代入得: 整理得 五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。例5 设求解 ① 显然将换成,得 ② 解① ②联立的方程组,得例6 设为偶函数,为奇函数,又试求的解析式解 为偶函数,为奇函数, 又 ① ,用替换得: 即② 解① ②联立的方程组,得, 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例7 已知:,对于任意实数x、y,等式恒成立,求解对于任意实数x、y,等式恒成立,不妨令,则有 再令 得函数解析式为:七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8 设是定义在上的函数,满足,对任意的自然数 都有,求 解 ,不妨令,得:,又 ①分别令①式中的 得:将上述各式相加得:, 2.1.给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3xxxx1211122211112222yyyy3OOOO2.求下列函数的定义域: (1) (2) (4) y=ax(a>0,a≠1) (5) y=x0 3. 设函数,则= .4.求下列函数的解析式: (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x). (2)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式反馈型题组5..(08年,全国Ⅰ高考题)函数的定义域为( ) A. B.C. D.6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是stOA.stOstOstOB.C.D.7.(08年德州)对任意整数x,y,函数满足,若=1,那么等于 ( ) A. -1 B. 1 C. 19 D 438.已知f(x)是一次函数,且2f(x)+f(-x)=3x+1对xR恒成立,则f(x)=__________.函数值域求法十一种 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解:∵∴显然函数的值域是: 例2. 求函数的值域。解:∵故函数的值域是: 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解:将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数的值
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