复变函数与积分变换复习(2006年下)

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《复变函数与积分变换》复习提要第一章:复数与复变函数 一、复数的运算: 1.复数的三角与指数表示 复数的定义:z ? x ? iy y r ? x2 ? y2 ,? ? arctan ,(Argz ? 2k? ?? ,?? ? argz ?? ) x 1 z ? r(cos? ?isin?) ? rei? 作幂的运算非常方便: zn ? rn (cosn? ?isinn?) 2.复数的方根: 1 ? ? ? 2k? ? ? 2k? ?n z ? r n ? cos ? i sin ?, k ? 0,1,2,?,n?1. ? n n ? 1 3.复变函数及其连续性: 对w? f (z),z ? x?iy,总有w ? u(x, y)?iv(x, y); 反之,设有 w ? u(x, y) ? iv(x, y),是否可化为 w ? f (z)? 极限概念:lim f (z) ? A. z?z0Th1: 设f (z) ? u(x, y) ? iv(x, y), A ? u0 ? iv 0 , z0 ? x0 ? y0 , 则: ? ? lim u(x, y) ? u0, lim v(x, y) ? v0. lim f (z) A x?x0 x?x0 z? z0 y?y0 y?y0 实质:复变函数的问题转换成实变函数的问题讨论。Th2 : 极限的四则运算法则。 连续概念:lim f (z) ? f (z0 ). z?z0 连续函数的运算等. 练习:求下列各式的值 . 6 6 1). (1? i) ; 2) ?1 2 第二章:解析函数 一、导数与微分 定义: 1. f (z ??z)? f (z ) f ?(z ) ? lim 0 0 ;dw? f ?(z )?z. 0 ? 0 z z0 ?z 2.可导与连续:可导则连续,反之未必。 3.求导法则(四则运算等) 二、解析函数 1.定义:如果函数f (z)在z0及的某邻域内处处可导,则称f (z)在z0解析. 注意:函数在一点(区域)解析与可导的区别与联系。 3 2.函数解析的充要条件:函数f (z) ? u(x, y) ? iv(x, y)在其定义区域 D内解析的充要条件是:u(x, y)与v(x, y)在D内可微,且满足柯西 ? 黎曼方程: ?u ?v ?u ?v ? , ? ? . ?x ?y ?y ?x 3.初等函数的解析性:指数函数、对数函数、幂函数等。 例1:判定函数? ? z Re(z)处可导,在何处解析? 解: 由? ? z Re( z) ? x 2 ? ixy , 得u ? x 2 , v ? xy, 所以 ?u ?u ?v ?v ? 2x, ? 0, ? y, ? x. ?x ?y ?x ?y 知:四个偏导数处处连续,但仅当x ? y ? 0时, 它们才满足C ? R方程。 因而函数仅在 可导,但在复平面任何地方不解析。 z ? 0 4 第三章:复变函数的积分 n 定义: 1. f (z)dz ? lim f (?k )?zk ?C ??0? k?1 其中C为起点为A终点B为的一条光滑的有向曲线, ? k 在曲线的第 k小段上. 2.基本定理: 1)柯西——古萨定理: 如果f (z)在单连通区域B内解析,则 f (z)dz ? 0,C ? B. ?C 2)复合闭路定理:设C多连通区域D内的一条简单闭曲线,c1,c2 ,?cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含,互不相交,且以c1,c2 ,?cn为边界的区域全含于D,如果f (z)在D内解析,那么 n f (z)dz ? f (z)dz. ?C ??c k?1 k 5 3.计算方法: 1).化为参数的定积分(对非闭曲线)设曲线 C : z ? z (t ), 起点 A ? t ? ? , 终点 B ? t ? ? , 则 ? f (z)dz ? f ?z(t)?z?(t)dt ?C ?? 2)对闭曲线 a)柯西积分公式: f (z)在C内及C上解析,C为正向简单闭曲线, 1 f (z) 则 f (z0 ) ? dz. ?C 2?i z ? z0 b)高阶导数公式: f (z)在C内及C上解析,C为正向简单闭曲线, (n) n! f (z) 则 f (z0 ) ? dz,(n ?1,2,3,?) ?C (n?1) 2?i (z ? z0 )高阶导数公式表明 若 在 解析 则 在 具有任意阶导数 : f (z) z0 , f (z) z0 . 6c)留数定理 : n f (z)dz ? 2?i Re s? f (z), zk ?. ?C ? k ?1其中:f (z)在区域内除有限个孤立奇点z1, z2 ,?zn外处处解析,C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线。 1例1.计算I ? dz.其中C : z ?b ? b的正向闭曲线。 ?C z 2 ?b2 1 ? 1 1 ? 1 1 1 1解: I ? ? ? ?dz ? dz? dz 2b?C ? z ?b z ?b? 2b?C z ?b 2b?C z ?b 1 ?i ? 2?i ?0 ? . 2b b 7 cos?z 例2. 计算I ? dz, C : z ? r ?1,正向. ?C (z -1)5 2?i ? 5i 解: I ? (cos?z)(4) ? ? . (5?1)! 12 第四章:级数 1.常数项级数: ? ? ?定理 收敛的充要条件是 和 都收敛 其中 1: ?? n ? an ? bn , ? n ? an ? ibn . n?1 n?1 n?1 ? 1 ? i ? 例1.判别 ? ?1 ? ?的收敛性 . n ?1 n ? n ? 1 ? i ? 1 1 解: 因为? ? ?1? ?, 即an ? ,bn ? , n n ? n ? n n2 ? 1 ? 1 ? 1 ? i ? 而 发散 收敛 故 ? 发散 ? , ? 2 , ? ?1 ? . n?1 n n?1 n n ?1 n ? n ? 8 幂级数: 2. ? 定义 形如 n的级数称为幂级数 1) : ? cn z . n?0 ?定理 如果 n在 收敛 那么对 的 2(Abel Theorem) : ?cn z z ? z0 , z ? z0 z, n?0级数必绝对收敛,如果在z ? z0发散,那么对z ? z0 的z,级数必发散. 2)收敛半径及求法 : c 1定理3:如果lim n?1 ? ? ? 0,那么收敛半径R ? . n?? cn ? n 1定理4:如果lim cn ? ? ? 0,那么收敛半径R ? . n?? ? ? n 例 求 z 的收敛半径 2. ? 3 . n ?1 n 3 c
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