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河北省唐山市开滦第二中学高一数学导学案:必修五正余弦定理应用2

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正余弦定理应用(二)A【学习目标】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一,本节主要帮助考生深刻 理解正、余弦定理,掌握解斜三角形的方法和技巧.【重点难点】(1) 运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形;(2) 熟练地进行边角和已知关系式的等价转化;(3) 能熟练运用三角形基础知识,正、余眩定理及面积公式与三角函数公式配合,通过等 价转化或构建方程解答三角形的综合问题,注意隐含条件的挖掘I典型题例示范讲 例1在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮 船在岛北30°东,俯角为30°的B处,到11时1()分又测得该船在岛北60°西、俯角为60° 的C处。(1) 求船的航行速度是每小吋多少千米;(2) 又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛人有多远?本题主要考查三角形基础知识,以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力知识依托主要利用三角形的三角关系,关键找准方位角,合理利用边角 错解分析 考生对方位角识别不准,计算易出错技巧与方法 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问解 (1)在 RtA/MB 中,ZAPB=60° PA=\. :.AB= (千米)在 RtAMC 屮,ZAPC=30° , :.AC= (千米)在ZSACB 中,ZCAB=30° +60° 二90°(2)ZDAC=90° -60° =30°sinDC4=sin(180°-ZACB)=s\nACB=sinC?)A=sin( Z ACB — 30 ° )=sinACB ? cos30 ° — cosACB ? sin30ffiAACD 屮,据止弦定理得此时船距岛A为例2已知AABC的三内角A、B、C满足A+C=2B,设x=cos/(x)=cosB((1)试求函数7U)的解析式及其定义域;(2)判断其单调性,并加以证明;(3)求这个函数的值域 命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力,并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力知识依托 主耍依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题错解分析考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点,并且不易想到技巧与方法本题的关键是运用三角函数的有关公式求的解析式,公式主要是和差化积和积化和差公式在求定义域时要注意I的范围(1)VA+C=2B, A 5=60° , A+C=120°< | | < 60 °x=cos???定义域为(乂 4兀2一3工0,1]⑵设X[<X2^若兀],^2^( ),贝9 4x/—3<0, 4x2? —3<(), 4xiX2+3>(),疋<°…兀2)—/Ui)<0即/(x2)</(xi),若占,x2^(,1],则 4x)2-3>0即 yu2)</g)「jw 在()和(,i上都是减函数(3)由(2)知,/x)</()=-或几円1)=2故的值域为(―?—)4^22 — 3 > 0, 4x|X2+3 > 0, Xi —兀2 < °,—/Ui) V(1学生巩固练习给出四个命题⑴若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;(2)若sinA=cosB,则厶佃仑为直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,则厶ABC为钝角三角形;(4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=l,则ZXABC 为正三角形 以上3正确命题的个数是()A1 1DI 4在△ABC中,己知A、B、C成等差数列,则的值为在AABC屮,A为最小角,C为最大角,已知cos(2A+C)=-,则 cos2(B+C)=sinB=4形ABCD的而积如右图,在半径为的圆桌的止屮央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的的平方成反比,即/二,其中k是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6, CD=DA=4,求四边5照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角〃的正弦成正比,角和这一点到光源的距离r择电灯悬挂的高度仏才能使桌子边缘处最亮?在△ ABC 中,a > b 、c分别为角A、B、C的对边,6(1)求角A的度数;⑵若a二 ,/?+c-3,求和c的值7在AABC中,ZA、ZB、ZC所对的边分别为°、b、c,且a、b、3c成等比数列,又Z/l-ZC=,试求ZA、ZB、ZC的值81 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点,使沿线段DE折桎三角形时,顶点4正好落在边BC上,在这种情况下,若要使AD最小,求AD:AB的值9.6-1 中,则 等于(A.B.C.D.10. 如图,海屮有一小岛,周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行,望 见小岛B在北偏东75° ,航行8海里到达C处,望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰 行的方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险?11. 在厶ABC 中,ZC=60° , BC=a, AC=b, a+h=\()?(1) 试写出的面积S与边长自的函数关系式.(2) 当4等于多少时,S有最大值?并求出这个最大值.12 ? 已知锐角△ ABC 中,sin ( A+B ) = , sin ( A - B )(1 )求证:tan/f=2tan^;(2)设AB=3,求AB边上的高I
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