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二元一次方程组应用题经 典题

'二元一次方程组应用题经 典题'
23实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一:列方程组解应用题的基本思想  列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系  1.行程问题: (1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程; ;;  (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程! (3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;         ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;         ③顺水速度-逆水速度=2×水速! ∽⒁:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似! 2.工程问题:工作效率×工作时间=工作量.  3.商品销售利润问题:  (1)利润=售价-成本(进价);(2);(3)利润=成本(进价)×利润率;(4) 标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率;  注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)  4.储蓄问题:  (1)基本概念   、俦窘:顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。    、郾鞠⒑:本金与利息的和叫做本息和。 ④期数:存入银行的时间叫做期数。    、堇:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 ⑥利息税:利息的税款叫做利息税。   (2)基本关系式   、倮ⅲ奖窘稹晾省疗谑    、诒鞠⒑停奖窘穑ⅲ奖窘穑窘稹晾省疗谑奖窘稹 (1+利率×期数)   、劾⑺埃嚼ⅰ晾⑺奥剩奖窘稹晾省疗谑晾⑺奥!  、芩昂罄ⅲ嚼ⅰ (1-利息税率) ⑤年利率=月利率×12 ⑥! ∽⒁:免税利息=利息   5.配套问题:  解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例! 6.增长率问题:  解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量;                 原量×(1-减少率)=减少后的量.  7.和差倍分问题:  解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.  8.数字问题:  解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字  9.浓度问题:溶液质量×浓度=溶质质量.  10.几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式  11.年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的  12.优化方案问题:  在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案! ∽⒁:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤  利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:  1.审题:弄清题意及题目中的数量关系;2.设未知数:可直接设元,也可间接设元;  3.找出题目中的等量关系;4.列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;5.解所列的方程组,并检验解的正确性;6.写出答案.  要点诠释:  (1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得 的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;  (2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;  (3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.  (4)列方程组解应用题应注意的问题  ①弄清各种题型中基本量之间的关系; ②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息; ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆; ⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件; ⑥列方程组解应用题一定要注意检验。 类型一:列二元一次方程组解决——行程问题  1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?   思路点拨:画直线型示意图理解题意:      (1)这里有两个未知数:①汽车的行程;②拖拉机的行程.   (2)有两个等量关系:    ①相向而行:汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米;    ②同向而行:汽车行驶小时的路程=拖拉机行驶小时的路程.  解:设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米.    根据题意,列方程组     解这个方程组,得:    .  答:汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.  总结升华:根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。四、行程问题例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去,结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时,则,整理,得,解得,因此,巡逻车的速度是80千米/时,犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距
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